中根遍历和先根遍历/后根遍历构建二叉树

1问题

给定二叉树的2个遍历序列（如先根+中根，先根+后根，中根+后根等），是否能够根据这2个遍历序列唯一确定二叉树？

2结论

这三种组合并不是都能唯一确定二叉树的，其中先根+后根就不能唯一确定一棵二叉树，中根+先根/后跟可以唯一确定一棵二叉树。因为先根/后根可以确定二叉树根节点是哪个，而中根可以将二叉树分为根节点和其左子树和其右子树，进而可以将先根/后根分成"根+左子树先根+右子树先根“ 或 “左子树后根+右子树后根+根”。然后就可以利用递归解决问题啦。

3理论分析

下面是关于该问题的证明与结论。

①给定二叉树结点的前序序列和中序序列，可以唯一确定该二叉树。
证明：因为先序序列的第一个元素是根结点，该元素将二叉树中序序列分成两部分，左边（假设有L个元素）表示左子树，若左边无元素，则说明左子树为空；右边（假设有R个元素）是右子树，若为空，则右子树为空。根据前序遍历中"根-左子树-右子树"的顺序，则由从先序序列的第二元素开始的L个结点序列和中序序列根左边的L个结点序列构造左子树，由先序序列最后R个元素序列与中序序列根右边的R个元素序列构造右子树。

②由中序序列和先序序列能唯一确定一棵二叉树，但是由先序序列和后序序列不能唯一确定一棵二叉树，因无法确定左右子树两部分。
反例：任何结点只有左子树的二叉树和任何结点只有右子树的二叉树，其前序序列相同，后序序列相同，但却是两棵不同的二叉树。
如： 2           2
    /            \
   1              1 
  /                \
 3                  3
这两棵二叉树的先序遍历序列都为2-1-3，后序遍历序列都为3-1-2。但是显然它们是不同的二叉树，所以根据先序序列和后序序列并不能唯一确定二叉树。

③已经说明由二叉树的先序序列和中序序列可以确定一棵二叉树，现在来证明由二叉树的中序序列和后序序列，也可以唯一确定一棵二叉树。

证明：
当n=1时，只有一个根结点，由中序序列和后序序列可以确定这棵二叉树。
设当n=m-1时结论成立，即结点数目为m-1时，中序序列和后序序列可以唯一确定二叉树。现证明当n=m时结论成立。
设中序序列为S1,S2,…,Sm,后序序列是P1,P2,…,Pm。因后序序列最后一个元素Pm是根，则在中序序列中可找到与Pm相等的结点（设二叉树中各结点互不相同）Si(1≤i≤m)，因中序序列是由中序遍历而得，所以Si是根结点，S1,S2,…,Si-1是左子树的中序序列，而Si+1,Si+2,…,Sm是右子树的中序序列。
若i=1，则S1是根，这时二叉树的左子树为空，右子树的结点数是m-1,则{S2,S3,…,Sm}和{P1,P2,…,Pm-1}可以唯一确定右子树，从而也确定了二叉树。
若i=m，则Sm是根，这时二叉树的右子树为空，左子树的结点数是m-1，则{S1,S2,…,Sm-1}和{P1,P2,…,Pm-1}唯一确定左子树，从而也确定了二叉树。
最后，当1<i<m时，Si把中序序列分成{S1,S2,…,Si-1}和{Si+1,Si+2,…,Sm}。由于后序遍历是"左子树-右子树-根结点"，所以{P1,P2,…,Pi-1}和{Pi,Pi+1,…Pm-1}是二叉树的左子树和右子树的后序遍历序列。因而由{S1,S2,…,Si-1}和{P1,P2,…,Pi-1}可唯一确定二叉树的左子树，由{Si+1,Si+2,…,Sm}和{Pi,Pi+1,…,Pm-1}可唯一确定二叉树的右子树。

4代码实现

前序遍历的第一个元素为根节点，在中序遍历中找到这个根节点，从而可以将中序遍历分为左右两个部分，左边部分为左子树的中序遍历，右边部分为右子树的中序遍历，进而也可以将前序遍历除第一个元素以外的剩余部分分为两个部分，第一个部分为左子树的前序遍历，第二个部分为右子树的前序遍历。 

由上述分析结果，可以递归调用构建函数，根据左子树、右子树的前序、中序遍历的结果输出后序遍历的结果。 

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1. //根据前序遍历和中序遍历重建二叉树的Java实现   
2.   
3. class Node {    
4.     Node left = null;    
5.     Node right = null;    
6.     char value;    
7. }    
8. public class BinaryTreeBuilder {    
9.     /**  
10.      * 根据前序遍历和中序遍历重建二叉树子树  
11.      * @param preOrder 前序遍历数组  
12.      * @param start 子树起始位置  
13.      * @param inOrder 中序遍历数组  
14.      * @param end 中序遍历结束位置  
15.      * @param length 节点数  
16.      * @return 树的根节点  
17.      */    
18.  public static Node buildTree(char[] preOrder,int start, char[] inOrder,int end,int length){    
19.         //参数验证     
20.         if (preOrder == null || preOrder.length == 0 || inOrder == null    
21.                 || inOrder.length == 0 || length <= 0) {    
22.             return null;    
23.         }    
24.             
25.         //根据前序遍历的第一个元素建立树根节点     
26.         char value = preOrder[start];    
27.         Node root = new Node();    
28.         root.value = value;    
29.             
30.         //递归终止条件：子树只有一个节点     
31.         if (length == 1)    
32.             return root;    
33.             
34.         //根据前序遍历的第一个元素在中序遍历中的位置分拆树的左子树和右子树     
35.         int i = 0;    
36.         while (i < length) {    
37.             if (value == inOrder[end - i]) {    
38.                 break;    
39.             }    
40.             i++;    
41.         }    
42.             
43.         //建立子树的左子树     
44.     root.left = buildTree(preOrder, start + 1, inOrder, end - i - 1, length - 1 - i);    
45.         //建立子树的右子树     
46.     root.right = buildTree(preOrder, start + length - i, inOrder, end, i );    
47.             
48.         return root;    
49.     }    
50.   
51.    // 后序遍历二叉树  
52.     private static void postOrder(Node root) {  
53.         if (root == null) {  
54.             return;  
55.         }  
56.         postOrder(root.left);  
57.         postOrder(root.right);  
58.         System.out.print(root.value+"  ");  
59.     }  
60.   
61.   
62.     public static void main(String[] args) {   
63.         //char[] preOrder = new char[] {'1', '2', '4', '5', '3', '6'};    
64.         char[] preOrder = new char[] {'A', 'B', 'D', 'E', 'G', 'H','J','C','F','I'};    
65.         //char[] inOrder = new char[] {'4', '2', '5', '1', '6', '3'};    
66.         char[] inOrder = new char[] {'D', 'B', 'G', 'E', 'H', 'J','A','C','I','F'};    
67.         Node root = buildTree(preOrder, 0, inOrder, inOrder.length - 1, inOrder.length);    
68.         postOrder(root);  
69.     }    
70. }    

运行结果： 
D  G  J  H  E  B  I  F  C  A