第四届 山东省ACM Boring Counting（划分树+二分 主席树待整理）

Boring Counting

Time Limit: 3000MS Memory Limit: 65536KB

Submit Statistic

Problem Description

    In this problem you are given a number sequence P consisting of N integer and Pi is the ith element in the sequence. Now you task is to answer a list of queries, for each query, please tell us among [L, R], how many Pi is not less than A and not greater than B( L<= i <= R). In other words, your task is to count the number of Pi (L <= i <= R,  A <= Pi <= B).

Input

     In the first line there is an integer T (1 < T <= 50), indicates the number of test cases. 
     For each case, the first line contains two numbers N and M (1 <= N, M <= 50000), the size of sequence P, the number of queries. The second line contains N numbers Pi(1 <= Pi <= 10^9), the number sequence P. Then there are M lines, each line contains four number L, R, A, B(1 <= L, R <= n, 1 <= A, B <= 10^9)

Output

    For each case, at first output a line ‘Case #c:’, c is the case number start from 1. Then for each query output a line contains the answer.

Example Input

113 56 9 5 2 3 6 8 7 3 2 5 1 41 13 1 101 13 3 63 6 3 62 8 2 81 9 1 9

Example Output

Case #1:137369

Hint

 

Author

 2013年山东省第四届ACM大学生程序设计竞赛

参考网址：http://www.cnblogs.com/yym2013/archive/2014/05/07/3713580.html

划分树 + 二分（据说归并树也可以做）。

 

题意：给你T组测试数据，每一组测试数据开始有两个整数N和M。分别表示下一行要输入N个整数，后面接着有M行询问，每行询问有4个整数 L,R,A,B，表示在区间 [L,R] 中查找 A<=Pi<=B 的数有多少个，输出数的个数。

 

思路：
　　这道题最直接的思路是对要求的区间排一下序，然后依次判断比较，记录下在范围[A,B]之内的数有多少个，即为结果。但是M即询问的次数范围在[1,50000]，如果每询问一次都要排一次序的话，时间消耗过大，所以上来直接pass掉这种思路。

　　因为这道题是基于区间查询，所以接下来我很自然的就想到了“线段树”。线段树的每一个节点代表一个区间，节点中存储的值为区间的特定值，在这里我用节点区间中的最大值，最小值，即数值范围，来表示这个特定值。查询的时候，先找到要找的区间，然后递归下去寻找这个区间内的值有多少个是在数值范围内。如果找到这个区间，发现这个区间的最小值都比[A,B]中的上限B要大，或者最大值都比下限A要小。说明这个区间内没有一个是符合要求的，这个节点代表的整个子树就不用找了。如此，会节约不少时间。

　　但是线段树的方法也会超时，比赛的时候看到TLE可是苦思冥想了好久，想了各种优化的方法。无奈，还是没能用线段树解出这道题。

　　后来比赛结束后查题解，才知道原来还有"划分树"这种神奇的东西。划分树是基于线段树的，但是我感觉它只继承了线段树“基于区间”的特点，其他的感觉我觉得倒没有什么联系。划分树主要是用来解决“区间第k大的数”问题。下面就让我具体的来讲讲如何用划分树解决这道题。

 

　　大家需要先大体了解一下什么是“划分树”，它的作用是“快速求出某一区间内第k大的元素”，例如数列“1,2,3,4,5,6,7,8"，区间[3,6]内第1大的值就是3。

　　那么如何用这个特性求出某一区间内数值在[A,B]范围内的数有多少个呢？

　　举个例子：数列“1,5,6,3,8,4,4,2”，L,R,A,B分别为3,6,4,7，即在区间[3,6]范围内查找数值在[4,7]的数有多少个。很显然，这里要查找的区间就是"6,3,8,4"，4<=Pi<=7的数有2个。

　　用划分树的思路来解决这个问题。先求出这个区间范围内第1大的数是多少，这里是3,拿它和下限 4(A) 来比较，比这个数小，说明不在这个数值范围内。然后求出第2大的数是4,和下限4(A)比较，在这个范围内，记录下它是第几大的数，标记为down，代表 >= 下限A的第一个数是第几大的数，这里为2（第二大的数）。同理，再依次和上限7(B)比较，求出第一个 <= 上限B的数是第几大的数，标记为up，代表 <= 上限B的数是第几大的数，这里为3。这之间包含了多少个数即为要求得的结果，即（up-down+1） 。

　　刚才的思路利用划分树顺序查找锁定up和down的值，这样未免会太慢。这道题对速度的要求还是比较高的，所以这里就要用到“二分"的思想。什么是二分呢？举个例子，如果查询区间为[1,8]，要求数值范围为[3,6]的数有多少个，先求down。可以先用中间那个数来和下限3比较，即用第4大的数和下限比较，如果比下限小，说明个要找的数在第4大的数右边，下一步再用4和8的中间值，即第6大的数和下限比较，最后得到down的值。同理可以求出up的值。这样一来，速度上又进行了一次优化。

 

参考资料：

划分树    　　SDUT:2610 Boring Counting

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <algorithm>using namespace std;#define MAXN 100005struct Divide_tree{    int arr[MAXN];  //原数组    int sorted[MAXN];   //排序后数组    int sum[20][MAXN];  //记录第i层1~j划分到左子树的元素个数(包括j）    int dat[20][MAXN];  //记录第i层元素序列    void build(int c,int L,int R)   //建树，主要是建立sum[][]和dat[][]数组    {        int mid = (L+R)>>1;        int lsame = mid-L+1;    //lsame用来记录和中间值val_mid相等的，且可以分到左孩子的数的个数                                //简单来说就是可以放入左孩子的,与中间值val_mid相等的数的个数        int lp=L,rp=mid+1;  //当前节点的左孩子和右孩子存数的起点        for(int i=L;i<mid;i++)  //获得一开始的lsame            if(sorted[i]<sorted[mid])                lsame--;        for(int i=L;i<=R;i++){  //从前往后遍历一遍，                                //确定当前节点区间内的所有元素的归属（放在左孩子或者放在右孩子）            if(i==L) sum[c][i]=0;            else sum[c][i]=sum[c][i-1];            if(dat[c][i]<sorted[mid]){  //当前元素比中间值val_mid小，放入左孩子                dat[c+1][lp++] = dat[c][i];                sum[c][i]++;            }            else if(dat[c][i]>sorted[mid])  //当前元素比中间值val_mid大，放入右孩子                dat[c+1][rp++] = dat[c][i];            else{  //当前元素值与中间值val_mid相等，根据lsame数判断放入左孩子还是右孩子                if(lsame){                    lsame--;                    sum[c][i]++;                    dat[c+1][lp++]=sorted[mid];                }                else{                    dat[c+1][rp++]=sorted[mid];                }            }        }        if(L==R) return ;   //递归出口，遇到叶子节点        build(c+1,L,mid);   //递归进入左孩子区间        build(c+1,mid+1,R); //递归进入右孩子区间    }    int query(int c,int L,int R,int ql,int qr,int k)    {        //c为树的层数，L,R为当前节点的区间范围，ql,qr为查询的区间范围，k为查询范围内第k大的数        if(L==R)    //递归出口，返回第k大的数            return dat[c][L];        int s;  //记录[L,ql-1]中进入左孩子的元素的个数        int ss; //记录[ql,qr]中进入左孩子的元素的个数        int mid=(L+R)>>1;        if(L==ql){  //端点重合的情况，单独考虑            s=0;            ss=sum[c][qr];        }        else {            s=sum[c][ql-1];            ss=sum[c][qr]-s;        }        if(k<=ss)   //左孩子的元素个数大于k个，说明第k大的元素一定在左孩子区间中，到左孩子中查询            return query(c+1,L,mid,L+s,L+s+ss-1,k);        else            return query(c+1,mid+1,R,mid+1+ql-s-L,mid+1+qr-s-ss-L,k-ss);    }};Divide_tree tree;int L,R,A,B;int N,M;int downbearch(int low,int high)    //找到第一个比B小的数是 第几大的数（用划分树）{    int mid = (low+high+1)>>1;    while(low<high){        if( tree.query(0,1,N,L,R,mid)<=B )  //查询第mid大的数是否比下界B小。                                //如果mid比B小，说明要找的位置在mid右边，low应该右移，即            low = mid;        else //否则，说明要找的位置应该在mid左边，即            high = mid-1;        mid = (low+high+1)>>1;    }    if( tree.query(0,1,N,L,R,mid)<=B )    //找到了        return mid;    else        return -1;}int upbearch(int low,int high)  //找到第一个比A大的数是 第几大的数（用划分树）{    int mid = (low+high+1)>>1;    while(low<high){        if( tree.query(0,1,N,L,R,mid)>=A )  //查询第mid大的数是否比上界A大。                                //如果mid比A大，说明要找的位置在mid左边，high应该左移，即            high = mid;        else //否则，说明要找的位置应该在mid右边，即            low = mid+1;        mid = (low+high)>>1;    }    if(tree.query(0,1,N,L,R,mid)>=A )    //找到了        return mid;    else        return -1;}int main(){    int i,Case,T;    scanf("%d",&T);    for(Case=1;Case<=T;Case++){        scanf("%d%d",&N,&M);        for(i=1;i<=N;i++){   //输入            scanf("%d",&tree.arr[i]);            tree.sorted[i]=tree.dat[0][i]=tree.arr[i];        }        sort(tree.sorted+1,tree.sorted+N+1);        tree.build(0,1,N);        printf("Case #%d:\n",Case);        for(i=1;i<=M;i++){            scanf("%d%d%d%d",&L,&R,&A,&B);            int up = downbearch(1,R-L+1);            int down = upbearch(1,R-L+1);            if(up==-1||down==-1||A>B||L>R)                printf("0\n");            else printf("%d\n",up-down+1);        }    }    return 0;}

wyp主席树的代码，时间更少

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<math.h>#include <string>#include<string.h>#include<map>#include<queue>#include<set>#include<utility>#include<vector>#include<algorithm>#include<stdlib.h>using namespace std;#define maxn 1000000#define maxm 100005#define rd(x) scanf("%d", &x)#define rd2(x, y) scanf("%d%d", &x, &y)template <class T>inline bool scan_d(T &ret){    char c; int sgn;    if(c = getchar(), c == EOF) return 0;    while(c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c= getchar();    sgn =(c == '-')?-1:1;    ret = (c == '-')?0:(c - '0');    while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9') ret = ret * 10 + (c - '0');    ret*= sgn;    return 1;}const int MAXN = 50010;const int M = MAXN * 100;int n, q, tot, a[MAXN];int T[MAXN], lson[M], rson[M];int V[MAXN], val[MAXN], sum[M];int build(int l, int r){    int root = tot++;    sum[root] = 0;    if(l != r){        int mid = (l + r) >> 1;        lson[root] = build(l, mid);        rson[root] = build(mid + 1, r);    }    return root;}int update(int root, int pos, int v){    int newroot = tot++, tmp = newroot;    sum[newroot] = sum[root] + v;    int l = 1, r = n;    while(l < r){        int mid = (l + r) >> 1;        if(pos <= val[mid]){            lson[newroot] = tot++; rson[newroot] = rson[root];            newroot = lson[newroot]; root = lson[root];            r = mid;        }        else{            rson[newroot] = tot++; lson[newroot] = lson[root];            newroot = rson[newroot]; root = rson[root];            l = mid + 1;        }        sum[newroot] = sum[root] + v;    }    return tmp;}int query(int root, int l, int r, int lv, int rv){    if(val[l] > rv || val[r] < lv) return 0;    if(val[l] >= lv && val[r] <= rv){        return sum[root];    }    int mid = (l + r) >> 1;    if(val[mid] >= rv) return query(lson[root], l, mid, lv, rv);    else if(val[mid] < lv) return query(rson[root], mid + 1, r, lv, rv);    else{        return query(lson[root], l, mid, lv, val[mid]) + query(rson[root], mid + 1, r, val[mid + 1], rv);    }}int L[MAXN], R[MAXN], A[MAXN], B[MAXN];int sst[MAXN*3], sn;int main(){    int t, n1, m1;    rd(t);    int tt = 1;    //int L, R, A, B;    while(t--){        rd2(n1, m1);        //set<int> sset;        tot = 0;        sn = 0;        for(int i = 1; i <= n1; i++){            //rd(V[i]);            scan_d(V[i]);            //sset.insert(V[i]);            sst[++sn] = V[i];        }        for(int i = 1; i <= m1; i++){            //scanf("%d%d%d%d", &L[i], &R[i], &A[i], &B[i]);            scan_d(L[i]);scan_d(R[i]);scan_d(A[i]);scan_d(B[i]);            //sst[++sn] = A[i]; sst[++sn] = B[i];            //sset.insert(A[i]); sset.insert(B[i]);            //printf("%d\n", query(T[R], 1, n, A, B) - query(T[L - 1], 1, n, A, B));        }        sort(sst + 1, sst + sn + 1);        val[0] = 0;        int sk = 0;        for(int i = 1; i <= sn; i++){            if(sst[i] != val[sk]) val[++sk] = sst[i];        }        n = sk;        /*n = sset.size();        int sk = 1;        for(set<int>::iterator it = sset.begin(); it != sset.end(); it++){            val[sk] = (*it);            sk++;        }*/        //memset(sum, 0, sizeof(sum));        T[0] = build(1, n);        for(int i = 1; i <= n1; i++){            T[i] = update(T[i-1], V[i], 1);        }        printf("Case #%d:\n", tt++);        for(int i = 1; i <= m1; i++)            printf("%d\n", query(T[R[i]], 1, n, A[i], B[i]) - query(T[L[i] - 1], 1, n, A[i], B[i]));    }    return 0;}