感知机

摘自李航《统计学习方法》

概述

感知机（perceptron）是二类分类的线性分类模型，其输入为实例的特征向量，输出为实例的类别，取+1和-1二值。感知机对应于输入空间（特征空间）中将实例划分为正负两类的分离超平面，属于判别模型。感知机学习旨在求出将训练数据进行线性划分的分离超平面，为此，导入基于误分类的损失函数，利用梯度下降法对损失函数进行极小化，求得感知机模型。感知机学习算法简单并且容易实现，分为原始形式和对偶形式。

感知机模型

f(x)=sign(wx+b)
sign是符号函数，即

sign(x)={+1,−1,x⩾0x<0

感知机学习策略

输入空间Rn中任一点x0到超平面S的距离：

1||w|||wx0+b|
这里，||w||是w的L2的范数。
对于误分类的数据(xi,yi)来说，
−yi(wxi+b)>0
成立。因为当wxi+b>0时，yi=−1，而当wxi+b<0时，yi=+1。因此，误分类点xi到超平面S的距离是
−1||w||yi(wxi+b)
这样，假设超平面S的误分类点集合为M，那么所有误分类点到超平面S的总距离为
−1||w||∑xi∈Myi(wxi+b)
不考虑−1||w||，就得到了感知机学习的损失函数：
L(w,b)=−∑xi∈Myi(wxi+b)
其中M为误分类点的集合，这个损失函数就是感知机学习的经验风险函数。
显然，损失函数是非负的。没有误分类点，那么损失函数为0。而且误分类点越少，误分类点离超平面越近，损失函数就越小。

感知机学习算法

原始形式

感知机学习算法可以转为求以下损失函数极小化问题的解

minw,bL(w,b)=−∑xi∈Myi(wxi+b)
其中，M为误分类点的集合。
感知机学习算法是误分类驱动的。具体采用随机梯度下降法（stochastic gradient descent）。
步骤：
（1）选取初值w0,b0；
（2）在训练集中选取数据(xi,yi)；
（3）如果yi(wxi+b)⩽0
w←w+ηyixi
b←b+ηyi
（4）转至（2），直至训练集中没有误分类点。
这种学习算法直观上有如下解释：当一个实例点被误分类，即位于分离超平面的错误一侧时，则调整w，b的值，使分离超平面向该误分类点的一侧移动，以减少该误分类点与超平面间的距离，直至超平面越过该误分类点使其被正确分离。
示例：




感知机学习算法存在许多解，这些解既依赖于初值的选择，也依赖于迭代过程中误分类点的选择顺序。为了得到唯一的超平面，需要对分离超平面增加约束条件，这就是支持向量机的想法。

对偶形式