常微分方程部分错题

好久没更新，这段时间忙着做一些小的processing和帮别人完成一个小东西，而且也想了很多，过去，现在，以及未来，也许还没有想清楚吧，所以现在就暂时放一放，安心，慢慢的过着自己的生活，就这样。
题目一：
dxdy=cos(y−x)
题目分析：其实这道题目真正的小问题是积分问题，比较常见，因为这里想突出强化积分对解常微分方程的重要性，所以就把这道题目放上来。
解：设 z = y - x
整理，带入
dzcos(z)−1=dx
现在就是我的想要强调部分的，这里我不打算把积分的具体过程分步展开，因为觉得，放上来看客们看完不亲手实践的话，也没什么意义的。所以给出解，希望大家回推。
x - cos(y−x2) = C,
这时看客们可能算完积分后就写答案了，可是，我们，还要想是不是存在奇解，这时，我们想cos(z) - 1 = 0怎么办，是不是奇解，这时带入，发现果然漏了一组奇解， z = 0 ，即y = 2kπ + x,
这时，我们的解全部解出，整理流程，写好，就好了。
题目二：
求微分方程

xyexy+x2exy=0

题目分析：这里我将这道题放在这里的原因是，可能我们可以用类似二重积分的方法，更换x与y的位置，来更好的求解问题，这里我们很容易看出xy 作为我们的切入点，然后就可以很容易的求解，但是，我在这里想提醒看客们，这里容易看出，化成类似dzdy 这样的东西，但是如果在题面中没有类似的提示信息，那么，就算一个比较难下手，需要判断，试探。
解答：上面已经给出关键点，所以就直接给出最终答案，
In(|x|)+exy=c
题目三：
解常微分方程：(2xy−−√−y)dx−xdy=0
题目分析：这里我将这道题放置于此处的原因是，一：符号问题，二，特殊值的排除，三，总结。 这道题挺有意思的，所以我们会相对详细解释具体在解答中体现出来。
解答：
显然xy > 0 ,暂不考虑平凡解，x = 0 , y = 0,则设y = u x,则分析整理：
2(sgn(x)u√−u)dx−udu 这里我们就出现了符号的问题啦。
如果x > 0 我们会整理出

In(x)=−In(|1−u√|)+In(c)

,即

x|1−yx−−√|=C

,
同理：x < 0 时，得出

−x|1−yx−−√|=C

。好了现在就可以体现总结之处了，我不知道各位看客会不会写成分段形式，反正在做这一道题时，我是写成了分段形式，其实可以总结为

x−xy−−√=C

,好了我们来看第二个点，特殊值的分析，如果各位看客有手动计算的话，会发现y=x是一个特殊情况，这里我们会发现，当C等于0时，可以归入上解，特解y = 0,是一个奇解，而我很想聊一聊的是基本没什么关注度的x= 0,我们发现x = 0满足于C=0的情况，但是d(x- xy−−√ 不存在),神奇的事情发生。
题目四：
解微分方程:xy’ = ycos(In(yx))
题目分析：我只是回应第一道题目，想再次重申定积分的重要性 ，其他，就没什么可以说的了。
解答：In(Cx)=cot(In(yx−−√)),就是一堆一堆的复合，同样的，函数y = xe2πx
也是原方程的解。

未完，待续。