198. House Robber

一、题目简述

假设你是一位职业抢劫者，需要规划一条街的抢劫方法。每个房间都藏有一定数量的钱，抢劫的唯一约束是，相邻房间之间有安全系统连接，如果同晚相邻的房间被抢，安全系统将会自动报警。
给定一列非负整数表示每间房的钱数，计算在不触发安全系统的条件下，你能够抢到的最多钱数。
函数原型：
int rob(vector<int>& nums)

二、编程思路

本题目编程思路较为明确，使用动态规划计算所能抢到的最多钱数，规划一是自己的思路，思路较为崎岖。规划二是网上题解，思路清晰明了。
本题实质就是求原始序列的一个子串，子串元素在原始序列中互不相邻，使子串之和最大。

动态规划一

动态规划最重要的是定义状态及状态转移方程，算法的优劣也在此体现。
令dp[i]表示在选择nums[i]的情况下，所能抢到的最大钱数。
则，dp[0]=nums[0]，dp[1]=nums[1]，dp[2]=dp[0]+nums[2]
dp[i]=max{dp[i−2]+nums[i],dp[i−3]+nums[i],...,dp[0]+nums[i]}
由于dp[i]表示已经抢了nums[i]，故之前需要从dp[i-2]开始。

动态规划二

令dp[i]表示在之前i个房间中所能拿到最多的钱，i=nums.size()时，即所求。
则，dp[0]=0，表示一个房间都不抢；
dp[1]=nums[0]，表示在前一个房间抢到最多的钱数；
dp[2]=max{nums[0],nums[1]}，表示在前两个房间抢到最多的钱数；
dp[3]=max{nums[0],nums1,nums[2],num[0]+num[2]}=max{nums1,num[0]+num[2]}
由此递推可知dp[i]=max{dp[i−1],dp[i−2]+nums[i]}
即，抢前i个房间的最多钱数，等于，抢前i-1房间的最多钱数、抢前i-2个房间的最多钱数+第i个房间的钱数，的最大值。

三、程序设计

动态规划一

class Solution {public:    int rob(vector<int>& nums) {        int size=nums.size();        int *dp=new int[size+1];        memset(dp,0,sizeof(int)*(size+1));        int global_max=0;        //global_max的作用：最优解不一定是抢nums[size-1]的情况。        for(int s=0;s<size;s++){            int max=nums[s];            int j=s-2;            while(j>=0){                int tmp=dp[j]+nums[s];                if(tmp>max){                    max=tmp;                }                j--;            }            dp[s]=max;            if(max>global_max)                global_max=max;        }        return global_max;    }};

动态规划二

class Solution {public:    int rob(vector<int>& nums) {        int size=nums.size();        if(nums.size()==0) return 0;        if(nums.size()==1) return nums[0];        vector<int> dp(nums.size()+1);        dp[0]=0;        dp[1]=nums[0];        for(int i=2;i<=nums.size();i++){            dp[i]=max(dp[i-1],(dp[i-2]+nums[i-1]));        }        return dp[nums.size()];    }};

四、实验心得

在动态规划中，状态的选取具有非常重要的作用。可以使用递推的方式观察状态之间转移规律，之后得出状态转移方程。