121. Best Time to Buy and Sell Stock

一、题目概述

给定一个数组，其中第i个元素代表第i天股票的价格。
如果你最多被允许完成一次交易（即，购买并抛售一份股票），设计一种算法寻找最大利润。

• 示例1：
  Input: [7, 1, 5, 3, 6, 4]
  Output: 5
  最大差值为6-1=5，（而非7-1=6，因为卖出价格需要高于买入价格）
• 示例2：
  Input: [7, 6, 4, 3, 1]
  Output: 0 此种情况下，不进行交易，利润最大为0。

函数原型：
int maxProfit(vector<int>& prices)

二、编程思路

    本题目最简单的思路是对于每一个买入价格prices[i]，计算卖出价格为prices[j],i≤j≤prices.size()，求利润的最大值，然而此种算法的时间复杂度为O(n2)，若直接以此思路编程，会超过限制时间。
    仔细观察可以发现本问题可以转化为最大连续子序列和的问题。
求max{prices[j]−prices[i]},i≤j并且i,j∈[0,prices.size())，
即求

max{prices[j]−prices[j−1]+prices[j−1]−prices[j−2]+prices[j−2]−prices[j−3]+…+prices[i+1]−prices[i]},i≤j并且i,j∈[0,prices.size())

令diff[i]=prices[i]−prices[i−1]，则上式可以转变为

max{diff[j]+diff[j−1]+...+diff[i+1]},i≤j并且i,j∈[0,prices.size())

即是最长连续子序列问题。
最长子序列
对于序列diff，令dp[i]表示diff[i]结尾的最长子序列之和，则有如下状态转移方程：
dp[0]=max{0,diff[0]}
dp[1]=max{0,diff[0],diff[1],diff[0]+diff[1]}=max{dp[0],dp[0]+diff[1]}
...
diff[i]=max{dp[i−1],dp[i−1]+diff[i]}

三、程序设计

class Solution {public:    int maxProfit(vector<int>& prices) {        if(prices.size()<2) return 0;        vector<int> diff;        for(int i=1;i<prices.size();i++){            diff.push_back(prices[i]-prices[i-1]);        }        int max=0,global_max=0;        for(int i=0;i<diff.size();i++){            max+=diff[i];            if(max>global_max) global_max=max;            if(max<0) max=0;        }        return global_max;    }};

四、实验心得

可以对问题进行适当转化，使其变为经典问题进行解决。