最短路径算法-Dijkstra算法的实质与变体

DJ算法：求有向网G的v0顶点到其余顶点v最短路径P[v]及带权长度D[v]

DJ算法思想：

1.对权值的深刻抽象,不一定要是路径，可能是一种权值相关的函数。参加题2

2.每次寻找最近v0的点时，不是寻找它的相邻点，而是已经求出距离的那些点，这里容易求相邻点而造成失误。

1 用于存储最短路径下标的数组

2 用于存储到各点最短路径的权值和。

3 用于标记是否已经获得v0至v的最短路径。

首先说明两种情况：

1 路径上有权值，这种是普遍情况，直接用节点v与节点0之间的路径值作为最短路径一维数组的初始值。

2 路端节点上有权值，路径相等，这种情况是DJ算法的变体，实质也是DJ算法。

题目描述

原来是要到醋溜站台乘坐醋溜快车到醋溜港”，亮亮解出了地图隐藏的秘密，赶紧奔向醋溜站台，但到了之后，亮亮忧桑地发现，从醋溜站台到醋溜港沿途的每个车站都有很多美女被他飒爽的英姿所吸引，只要经过车站就会被这些漂亮的女孩搭讪，但是现在亮亮一心想要寻找楚楚街而没空去搭理她们，所以亮亮希望在抵达醋溜港的时候被搭讪的次数最少。问亮亮抵达醋溜港最少会被搭讪多少次？

输入描述:

第一行包含两个整数N(2<=N<=5000),M(1<=M<=50000)。N表示公有N个汽车站，M表示公有M条公路，起点为1，终点为N。第二行包含N个整数(0<=K<=10000)，第i个整数表示在第i站有K个美女想要搭讪亮亮。接下来M行，每行包含两个整数P(1<=P<=N),Q(1<=Q<=N),代表P,Q两个站是有班车直达的。

输出描述:

一个整数，即亮亮抵达醋溜港最少需要被搭讪的次数。

输入例子:

5 50 1 1 3 61 21 42 33 54 5

输出例子:

8

#include <iostream>#include <limits.h>#include <vector>using namespace std;int main(){    int N,M;    while(cin>>N>>M){        vector<int> girls(N+1);        vector<vector<int>> Mgraph(N+1,vector<int>(N+1,0));        for (int i = 1; i <= N; ++i)        {            int K;cin>>K;            girls[i]=K;        }        for (int i = 1; i <= M; ++i)        {            int P,Q;cin>>P>>Q;            Mgraph[P][Q]=1;            Mgraph[Q][P]=1;        }        vector<int> Pathmatrix(N+1);        vector<int> ShortPathTable(N+1);        vector<int> final(N+1);        for (int v = 1; v <= N; ++v)        {            final[v]=0;            ShortPathTable[v]=(Mgraph[1][v]==1?girls[v]+girls[1]:INT_MAX);//一定要注意这个地方的初始值            Pathmatrix[v]=1;        }        ShortPathTable[1]=girls[1];        final[1]=1;        for (int v = 2; v <= N; ++v)        {            int min=INT_MAX;            int k;            for (int w = 1; w <= N; ++w)            {                if(!final[w]&&ShortPathTable[w]<min){                    k=w;                    min=ShortPathTable[w];                }            }            final[k]=1;            for (int w = 1; w <=N; ++w)            {                if(!final[w]&&Mgraph[k][w]==1){                    if(min+girls[w]<ShortPathTable[w]){                        ShortPathTable[w]=min+girls[w];                        Pathmatrix[w]=k;                    }                }            }        }        cout<<ShortPathTable[N]<<endl;    }    return 0;}

附一种暴力但是复杂度高的DFS算法:

/*不通过您的代码已保存运行超时:您的程序未能在规定时间内运行结束，请检查是否循环有错或算法复杂度过大。case通过率为20.00%*/#include <iostream>#include <string>#include <cstring> using namespace std;#define MAX 1000int path[MAX][MAX];int girl[10001];int visited[MAX];void dfs(int start, int end, int curtalks, int*mintalks){    //cout << "start=" << start << "end=" << end << "curtalks=" << curtalks << endl;    if (start == end&&curtalks<*mintalks){        *mintalks = curtalks;        return;    }    for (int i = 1; i <= end; ++i)    {        if (path[start][i] == 1&&visited[i]==0){            visited[i] = 1;            dfs(i, end, curtalks + girl[i], mintalks);            visited[i] = 0;        }    }}int main(){    int N, M;    while (cin >> N >> M){        memset(path, 0, sizeof(path));        memset(girl, 0, sizeof(girl));        memset(visited, 0, sizeof(visited));        for (int i = 1; i <= N; ++i)        {            int K; cin >> K;            girl[i] = K;        }        for (int i = 1; i <= M; ++i)        {            int P, Q; cin >> P >> Q;            path[Q][P] = 1;//This is what I ignore            path[P][Q] = 1;        }        int mintalks = 100000;        visited[1] = 1;        dfs(1, N, girl[1], &mintalks);        cout << mintalks << endl;    }    return 0;}

输入描述:

一行包含两个整数N(2<=N<=500),M(1<=M<=2000)，用单个空格隔开。表示公有N个港，M条航线。起点为1，终点为N。接下来M行，每行包含五个整数P,Q(1<=P,Q<=n), K(1<=K<=1000), X,Y(0<=X,Y<=10000),代表P,Q两个港有航线并需要K天，并且该航线在第X天到第Y天天气恶劣不可通行。

输出描述:

一个整数，即亮亮最快能在第几天抵达楚楚街港

输入例子:

4 4       2 1 1 7 134 3 2 10 111 3 8 9 122 3 3 2 10

输出例子:

14

#include <iostream>#include <cstring>#include <limits.h>using namespace std;#define MAX 501struct cost{    int K;    int X;    int Y;};int arrivetime(int start,int K,int X,int Y){    int arrive=start+K;    if(arrive<X||start>Y)//特别注意这里的两种情况，可能忽视掉一种情况。可能忽略start>Y        return arrive;//遭遇恶劣天气，未遭遇恶劣天气。    else        return Y+K;}cost matrix[MAX][MAX];int earlist[MAX];int ffinal[MAX];int main(){    int N,M;    while(cin>>N>>M){        for (int i = 1; i <= N; ++i)        {            for (int j = 1; j <= N; ++j)            {                matrix[i][j].K=INT_MAX;            }        }        for (int i = 1; i <= M; ++i)        {            int P,Q,K,X,Y;            cin>>P>>Q>>K>>X>>Y;            matrix[P][Q].K=matrix[Q][P].K=K;            matrix[P][Q].X=matrix[Q][P].X=X;            matrix[P][Q].Y=matrix[Q][P].Y=Y;        }        for (int v = 1; v <= N; ++v)        {            //earlist[v]=(matrix[1][v].K==INT_MAX?INT_MAX:matrix[1][v].K);这个地方不能这样草率的初始化。            ffinal[v]=0;            if(matrix[1][v].K!=INT_MAX)            {                if(matrix[1][v].K>matrix[1][v].X)                    earlist[v]=matrix[1][v].Y+matrix[1][v].K;//初始化，同样分为两种情况，遭遇恶劣天气，未遭遇恶劣天气，不能草率。                else                    earlist[v]=matrix[1][v].K;            }else                  earlist[v]=INT_MAX;        }        earlist[1]=0;        ffinal[1]=1;        for (int v = 2; v <= N; ++v)        {            int min=INT_MAX;            int p;            for (int w = 1; w <=N ; ++w)//说明我没有深刻理解DJ算法的精髓，每次寻找最近的点时，不是寻找它的相邻点，而是所有已经求出来的点，到v0的距离综合起来最近的。            {   /*这里在寻找最近点时，不是寻找相邻点，那样就只有有限个了。SB                if(!final[w]&&matrix[1][w].K!=INT_MAX){这里只是每次判断了相邻点，但是最近点不一定是相邻点！！！所以针对的是earliest                    int arrive=arrivetime(earlist[1],matrix[1][w].K,matrix[1][w].X,matrix[1][w].Y);                    if(arrive<min){                        min=arrive;                        p=w;                    }                }                */                if(!ffinal[w]&&earlist[w]<min){                    min=earlist[w];                    p=w;                }                            }            ffinal[p]=1;            for (int w = 1; w <=N ; ++w)            {                if(!ffinal[w]&&matrix[p][w].K!=INT_MAX){                    int arrive=arrivetime(min,matrix[p][w].K,matrix[p][w].X,matrix[p][w].Y);                    if(arrive<earlist[w]){                        earlist[w]=arrive;                    }                }            }        }        cout<<earlist[N]+1<<endl;    }    return 0;}