一道关于逆序对的题目

逆序对

题目描述

Smart得到了一个1~n的全排列。
Smart每次会交换第i个数和第j个数，对于每一次交换，Smart需要Sarah回答该全排列的逆序对数为多少。
“1、2、3、4、………、248289469！”Sarah如是回答到。
Smart觉得答案数太大，不太好判断是否正确，所以只需回答最后答案取模2的结果。

输入格式 1787.in

第一行一个整数n；
第二行为1~n的某个全排列；
第三行一个整数m，表示交换操作的次数。
接下来m行，每行两个数i和j。

输出格式 1787.out

输出m行，每行包含一个整数表示交换后答案。

输入样例 1787.in

1
1 2 3 4
1
1 2

输出样例 1787.out

1
【数据范围】
30%的数据：n,m≤1000；
100%的数据：n,m≤100000。

一开始想的做法是树状数组骗分。然后发现答案是这样的：……0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1……。

然后试了试把先求出第一个答案，然后不断取反（亦或1）好像还intersting的ac了。

后来证明了一下：

每次交换排列中两个不相等的数，必会增加或减少奇数对逆序对。证明：

设被交换的数分别为 a[i] 和 a[j]，且 i < j。交换前逆序对数为 x。于是有两种情况：a[i]>a[j] 或 a[i]<a[j]

情况一：a[i]>a[j]为了方便，我们不妨将 n 个数按下标分为三部分，[1,i) 为A部分，(i,j) 为B部分，(j,n] 为C部分，如图。（注意 i 和 j 不属于任何一部分，因为它们是待交换的）

首先，A、B、C 每个部分数中（不含 i 和 j！）各自的逆序对数不受交换影响，这是显然的。

在 A 部分中的数，交换后对逆序对数没有影响。因为虽然 a[i] 和 a[j] 的绝对位置交换了，但是它们相对于 A 部分中的数的相对位置依然是不变的。同理，在 C 部分中的数，交换后对逆序对数也没有影响。

于是我们就要考虑 B 部分中的数，分三类讨论：

大于 a[i] 的数，必然也大于 a[j]，不妨设为 x，易知交换前有逆序对 (x, a[j])，交换后有逆序对 (x, a[i])，故它们对逆序对数无影响。

小于 a[j] 的数，必然也小于 a[i]，不妨设为 y，易知交换前有逆序对 (a[i], y)，交换后有逆序对 (a[j], y)，故它们对逆序对数无影响。

小于 a[i] 而大于 a[j] 的数。不妨设为 z，易知交换前有逆序对 (a[i], z) 和 (z, a[j])，交换后无逆序对。若这样的数有 p 个，则逆序对数减少 2p 对。

最后，因为 a[i]>a[j]，所以交换前有逆序对 (a[i],a[j])，交换后无逆序对。故，总共减少了 2p+1 对逆序对，显然减少的是奇数。

情况二：a[i]<a[j] 类似。

于是可以得知，当交换排列中两个不相等数时，逆序对数会增加或减少奇数对，则对 2 取模的值会从 0 变 1，或从 1 变 0。但要注意此题可能交换 (i, i) 之类的，所以要判断一下，如果交换的是同一个数，答案与之前一致。

//以上证明源于：http://blog.csdn.net/u013686535 博主本人

code：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
#define Maxn 100010
#define lowbit(x) x&(-x)
int a[Maxn];
int dp[Maxn<<2];
int n,ans=0;
int sum(int x)
{
int t=0;
while(x>0)
{
t+=dp[x];
x-=lowbit(x);
}
return t;
}
void insert(int x,int d)
{
dp[x]+=d;
while(x<=n)
{
x+=lowbit(x);
dp[x]+=d;
}
return;
}


int main()
{
freopen("1787.in","r",stdin);
freopen("1787.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) 
{
scanf("%d",&a[i]);
}
int m,x,y;
scanf("%d",&m);
scanf("%d%d",&x,&y);
swap(a[x],a[y]);
memset(dp,0,sizeof(dp));
ans = 0;
for(int i=n;i>=1;i--)
{
ans=(ans+sum(a[i]-1))%2;
insert(a[i],1);
}
ans%=2; printf("%d\n",ans%2);

for(int i=1;i<m;i++) 
{
scanf("%d%d",&x,&y);
if(x==y) printf("%d\n",ans);
else{
ans=(ans+1)%2;
printf("%d\n",ans);
}
}
return 0;
}