剑指offer-面试题09-斐波那契数列

题目1：写一个函数，输入n，求斐波那契数列的第n项。

题目2：变态跳台阶。一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

题目2的解法如下：

关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:

f(1) = 1

f(2) = f(2-1) + f(2-2)         //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。

f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) 

...

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n) 

 

说明： 

1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,...n阶的 跳法数。

2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1

3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2) 

4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，

    那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)

    因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶...n阶，得出结论：

    f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)

    

6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：

    f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)

    f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)

    可以得出：

    f(n) = 2*f(n-1)

    

7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、...n阶的跳的方式时，总得跳法为：

              | 1       ,(n=0 ) 

f(n) =     | 1       ,(n=1 )

              | 2*f(n-1)=2^(n-1),(n>=2)

/** * 题目：1写一个函数，输入n，求斐波那契数列的第n项。 * 题目：2变态跳台阶。一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。 * Created by WangSai on 6/7/17. * * @author WangSai */public class Fibonacci {    // 斐波那契数列定义    // f(n)= |- =0，n=0    //       |- =1，n=1    //       |- =f(n-1)+f(n-2),n>=2    public static void main(String[] args) {        long temp = Fib1(10);        System.out.println(temp);        long temp2 = Fib2(10);        System.out.println(temp2);    }    // 采用递归的方式完成斐波那契数列的计算,计算第n项    private static long Fib1(int n) {        int[] results = {0, 1};        if (n < 2)            return results[n];        return Fib1(n - 1) + Fib1(n - 2);    }    // 采用迭代方式完成斐波那契数列的计算，计算第n项    private static long Fib2(int n) {        int[] results = {0, 1};        if (n < 2)            return results[n];        int FIB1 = 0;        int FIB2 = 1;        int FIBN = 0;        for (int i = 2; i <= n; i++) {            FIBN = FIB1 + FIB2;            FIB1 = FIB2;            FIB2 = FIBN;        }        return FIBN;    }    // 采用迭代的方式，计算第n项，对Fib2进行优化，省去FIBN变量    private long Fib3(int n) {        if (n < 0)            return 0;        long num1 = 0;        long num2 = 1;        for (int j = 1; j <= n; j++) {   //  从1开始            num1 = num1 + num2;            num2 = num1 - num2;        }        return num1;    }    //变态跳台阶 解法1    public int JumpFloorII_1(int target) {        if (target == 1)            return 1;        int step = 2;        while (target-- > 2) {            step *= 2;        }        return step;    }    //变态跳台阶 解法2    public int JumpFloorII(int target) {        if (target == 0)            return 1;        if (target == 1)            return 1;        return 2 * JumpFloorII(target - 1);    }}

                                             
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