关于积性函数的学习小记

前言

好菜啊，学这些东西快学傻了。我想整理一下会舒服点。

积性函数的定义

1. 若f(x)为定义域为正整数域，值域为复数域的函数，我们就称之为数论函数。
2. 对于在a,b互质的条件下，满足f(ab)=f(a)f(b)的数论函数，我们称之为积性函数。
3. 若对于任意一对a,b都满足，则称之为完全积性函数。

常见的积性函数与其性质

1. 除数函数σk(n)=∑d|ndk，即n的每个约数的k次方的和，注意不是σk(n)。
2. 元函数，即下面要讲的狄利克雷卷积的单位元，ϵ(n)=[n=1]，完全积性。
3. 恒等函数1(n),一般写在卷积中写为1，有时候不会写出来，肯定也是完全积性的。
4. 幂函数idk(n)=nk，完全积性。
5. 莫比乌斯函数μ(n)，μ(1)=1，设n=∏li=1pkii，则当l=1时μ(n)=(−1)k，l>1时为0。
   值得注意的是∑d|nμ(d)=[n=1]，证明的思路是考虑每个d的ki=0/1用组合数表示前面的式子，再用二项式定理证明。
   二项式定理：(a−b)k=∑ki=0Cikaibk−i。
   这样我们可以得到，μ∗1=ϵ，可以对着每一项看一看是不是。
6. 欧拉函数，φ(n)=∑ni=1[(i,n)=1]⋅1。
   欧拉函数相关：
   设n=∏li=1pkii
   
   • φ(n)=n⋅∏li=1(1−1pi)。
   • 若l=1，则φ(n)=pk−pk−1
   • ∑ni=1[(i,n)=1]⋅i=n⋅φ(n)2。我们知道若(i,n)=1，根据辗转相除，可知(n−i,n)=1，那么可以把这些数对配对起来凑成n。需要注意的是，如果n=1，要加一个1。
   • 对于正整数n>2，φ(n)为偶数。

注意到上面欧拉函数的通项公式可以写成φ(n)=∏li=1φ(pkii)这个可以推广到所有积性函数。而如果是完全积性函数函数，更可以把ki写在外面。

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狄利克雷卷积和莫比乌斯反演

• 数论函数f和g的卷积定义为，(f∗g)(n)=∑d|nf(d)g(nd)。它满足交换律，结合律，加法满足分配律(没什么用)，另外，f∗ϵ=f，若f和g为积性函数，则f∗g为积性函数，即具有传递性。
  而根据这一点，我们可以写出(f∗g)(n)=∏(f∗g)(pkii)
• 卷积在算法竞赛总常用的优化时间复杂度的方法是，给原来的式子一个1，就是把f写成f∗1，这样子可以转化式子，例如n=∏li=1pkii，g(n)=∑d|nf(n)，变为g(n)=∑d|nf(n)1(nd)，得到g(n)为积性函数，那么我们现在相当于
  g(n)=∏li=1g(pkii)=∏li=1(f∗1)(pkii)=∏li=1∑kij=0f(pji)⋅1(pki−ji)，就是这样了。
• 再举个例子欧拉函数，就是∑d|nφ(d)=n，这个仍然是上面的方法，左边卷积上1，很容易发现∑kij=0φ(pji)=pkii，然后∏起来就是n了。
• 来讲讲莫比乌斯反演吧，若g(n)=∑d|if(d)，即g=f∗1，两边乘μ，根据莫比乌斯函数性质，可得g∗μ=f∗ϵ，即f(n)∗ϵ(1)=∑d|ng(d)μ(nd)，因为元函数只有第一位是1，所以其他都省掉。在过程中，我们发现并不需要f为积性函数。类似的可以把∑i|n换成∑n|i，即i为n的倍数。
• 一个演绎：φ∗1=id，两边乘μ，则φ∗ϵ=id∗μ，那么可见，φ(n)=∑d|nμ(d)nd。
  可见，化为卷积来进行宏观的转化，再写为多项式，就能弄出很优美的东西。

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杜教筛

利用狄利克雷卷积构造，我们可以快速算出一类积性函数的前缀和。
设f(n)为积性函数，我们现在要算
s(n)=∑ni=1f(i)
根据函数f的性质，我们要构造一个s(n)关于s(⌊ni⌋)的递推式，那么我们需要找一个合适的函数g(n)，使得
∑ni=1∑d|if(d)g(id)=∑ni=1g(i)∑⌊ni⌋d=1f(d)=∑ni=1g(i)s(⌊ni⌋)
由于我们要求s(n)，则把带s(n)的提出来，得到
g(1)s(n)=∑ni=1(f∗g)(i)−∑ni=2g(i)s(⌊ni⌋)。
这样的话，我们后面用根号n的时间递归解决。而前一项是一个卷积。那么我们可以发现杜教筛的局限：卷积必须要能够快速算出来，才可以用这种算法。在一般的杜教筛题目中，这个一般是手算的。
例子就不写了，而杜教筛直接上时间复杂度是O(n34)的，具体分析可见论文。如果配合线筛，筛出出前n23的预处理，则时间复杂度可达O(n23)。十分的优秀。

参考资料

浅谈一类积性函数的前缀和——唐老师
2016国家集训队论文中《积性函数求和的几种方法》——绍兴一中，任之洲