[SMOJ1787]逆序对

题目描述

Smart 得到了一个 1~n 的全排列。

Smart 每次会交换第 i 个数和第 j 个数，对于每一次交换，Smart 需要 Sarah 回答该全排列的逆序对数为多少。

“1、2、3、4、………、248289469！”Sarah 如是回答到。

Smart 觉得答案数太大，不太好判断是否正确，所以只需回答最后答案取模 2 的结果。

输入格式 1787.in

第一行一个整数 n；

第二行为 1~n 的某个全排列；

第三行一个整数 m，表示交换操作的次数。

接下来 m 行，每行两个数 i 和 j。

输出格式 1787.out

输出 m 行，每行包含一个整数表示交换后答案。

输入样例 1787.in

1
1 2 3 4
1
1 2

输出样例 1787.out

1

数据范围

30%的数据：n,m≤1000；
100%的数据：n,m≤100000。

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本题看似复杂，但破解了其中的奥妙之后，编码量十分短。

做法一：暴力做
直接按题意模拟，每次交换两个元素重新求逆序对
时间复杂度：取决于求逆序对的算法，两重 for 循环为 O(m×n2)，树状数组为 O(m×nlog2n)
得分：30
代码：

#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;const int maxn = 1e5 + 100;#define lowbit(x) (x & -x)int n, m;int a[maxn];int tree[maxn];void update(int x) {    while (x <= n) {        tree[x]++;        x += lowbit(x);    }}int query(int x) {    int sum = 0;    while (x) {        sum += tree[x];        x -= lowbit(x);    }    return sum;}int calc() {    int ans = 0;    memset(tree, 0, sizeof tree);    for (int i = 1; i <= n; i++) {        update(a[i]);        ans += i - query(a[i]);    }    return ans;}int main(void) {    freopen("1787.in", "r", stdin);    freopen("1787.out", "w", stdout);    scanf("%d", &n);    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);    scanf("%d", &m);    for (int i = 0; i < m; i++) {        int x, y;        scanf("%d%d", &x, &y);        swap(a[x], a[y]);        printf("%d\n", calc() & 1);    }    return 0;}

做法二：
算出最初的逆序对数，之后每次交换就将答案取反（0 变 1，1 变 0）
时间复杂度：O(n+m+nlogn)
得分：100

理由：若每次交换排列中两个不相等的数，必会增加或减少奇数对逆序对。
如何证明？（感谢 oql 的指导）
不妨设被交换的数分别为 ai 和 aj，且 i<j。
于是有两种情况：ai>aj 或 ai<aj
为了方便，我们不妨将 n 个数按下标分为三部分，[1,i) 为 A 部分，(i,j) 为 B 部分，(j,n] 为 C 部分，如图。（注意 i 和 j 不属于任何一部分，因为它们是待交换的）

首先，A、B、C 每个部分数中（不含 i 和 j！）各自的逆序对数不受交换影响，这是显然的。

在 A 部分中的数，交换后对逆序对数没有影响。因为虽然 ai 和 aj 的绝对位置交换了，但是它们相对于 A 部分中的数的相对位置依然是不变的。
同理，在 C 部分中的数，交换后对逆序对数也没有影响。

于是我们就要考虑 B 部分中的数，分三类讨论：

• 大于 ai 的数，必然也大于 aj，不妨设为 x，易知交换前有逆序对 (x,aj)，交换后有逆序对 (x,ai)，故它们对逆序对数无影响。
• 小于 aj 的数，必然也小于 ai，不妨设为 y，易知交换前有逆序对 (ai,y)，交换后有逆序对 (aj,y)，故它们对逆序对数无影响。
• 小于 ai 而大于 aj 的数。不妨设为 z，易知交换前有逆序对 (ai,z) 和 (z,aj)，交换后无逆序对。若这样的数有 p 个，则逆序对数减少 2p 对。

最后，因为 ai>aj，所以交换前有逆序对 (ai,aj)，交换后无逆序对。故，总共减少了 2p+1 对逆序对，显然减少的是奇数。

情况二：ai<aj 之类的，所以要判断一下，如果交换的是同一个数，答案与之前一致。

参考代码：

#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;const int maxn = 1e5 + 100;#define lowbit(x) (x & -x)int n, m;int a[maxn];int tree[maxn];void update(int x) {    while (x <= n) {        tree[x]++;        x += lowbit(x);    }}int query(int x) {    int sum = 0;    while (x) {        sum += tree[x];        x -= lowbit(x);    }    return sum;}int calc() {    int ans = 0;    memset(tree, 0, sizeof tree);    for (int i = 1; i <= n; i++) {        update(a[i]);        ans += i - query(a[i]);    }    return ans;}int main(void) {    freopen("1787.in", "r", stdin);    freopen("1787.out", "w", stdout);    scanf("%d", &n);    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);    scanf("%d", &m);    int x, y;    scanf("%d%d", &x, &y);    swap(a[x], a[y]);    int ans = calc() & 1; printf("%d\n", ans);    for (int i = 1; i < m; i++) {        scanf("%d%d", &x, &y);        if (x != y) ans = !ans;        printf("%d\n", ans);    }    return 0;}