BZOJ 2742: [HEOI2012]Akai的数学作业

Description

这里是广袤无垠的宇宙这里是一泻千里的银河
这里是独一无二的太阳系
这里是蔚蓝色的地球
这里，就是这里，是富饶的中国大陆！
这里是神奇的河北大地
这里是美丽的唐山
这里是神话般的唐山一中
这里是Akai曾经的教室
黑板上还留有当年Akai做过的数学作业，其实也并不是什么很困难的题目:
“
给出一个一元n次方程：
a0 + a1x + a 2 x2 +…+ anxn= 0
求此方程的所有有理数解。

” Akai至今还深刻记得当年熬夜奋战求解的时光
他甚至还能记得浪费了多少草稿纸
但是却怎么也想不起来最后的答案是多少了
你能帮助他么？

Input

第一行一个整数n。第二行n+1个整数，分别代表a 0 到a n

Output

第一行输出一个整数t，表示有理数解的个数
接下来t行，每行表示一个解
解以分数的形式输出，要求分子和分母互质，且分母必须是正整数特殊的，如果这个解是一个整数，那么直接把这个数输出
等价的解只需要输出一次
所有解按照从小到大的顺序输出

Sample Input

3

-24 14 29 6

Sample Output

3

-4

-3/2

2/3

HINT

【数据范围】

对于30%的数据，n<=10

对于100%的数据，n <= 100，|a i| <= 2*10^7，an≠ 0

分析

题目中有一点很关键，那就是求有理数解，也即x=q/p的解。由复系数多项式基本定理可以知道，原多项式一定有一个(x-q/p)因式。又考虑到本题所有系数都是整数，原因式等价于(px-q)。也就是说，原方程的任何有理数根都必须对应一个(px-q)这样一个因式。
我们设原多项式为：
f(x) =a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn
把所有的有理数解对应的因式分离出来：
f(x)=(p1*x-q1)(p2*x-q2)(p3*x-q3)…(pk*x-qk)*g(x)
其中g(x)是不含有理数根的部分。
由韦达定理我们可以得到：
an = p1*p2*p3*…*pk*u
a0 = q1*q2*q3*…*qk*v
其中u,v分别为g(x)的最高次项系数和常数项。
由上式可以很明显地推出：对于一个有理数解q/p,有p|an,且q|a0。
于是我们先用O(sqrt(a))的时间求出a0和an所有的约数。
然后直接枚举p,q的所有组合，带入原方程检验就行了。
于是又有一个难题来了，如何检验呢？？
我们将q/p代入原方程后进行通分，得到下面这个式子：
f(q/p) =[ a0*p^n + a1*q*p^(n-1) + a2*q^2*p*(n-2) + … + an*q^n ] / p^n
分子x= Σai*q^i*p^(n-i)。
我们只需判定x==0的真假，就可以知道f(q/p)是否为0。
用高精度不仅麻烦而且容易超时，于是我们可以采用取模的方法来避免高精度。
我们选用一个较大的质数(我选择的是十亿零七)，然后带模从头到尾运算，如果最后答案为0。
我们便可以近似地认为原式为0了(觉得不保险可以多选用几个质数同时检验)。

代码

#include <bits/stdc++.h>#define N 105#define M 500005#define MOD 1000000007 int n;int tot;int a[N],p[N],q[N];int cnt[2];int fac[2][M];struct NOTE{    int x,y;    friend bool operator < (NOTE a, NOTE b)    {        return (double)a.x / (double)a.y < (double)b.x / (double)b.y;    }}ans[M];int pow(long long x, int y){    long long res = 1;    while (y)    {        if (y & 1)            res = res * x % MOD;        x = x * x % MOD;        y >>= 1;    }    return res;}bool cheak(int x,int y){   long long ans = 0;    for (int i = 0; i <= n; i++)        (ans += 1LL * a[i] * pow(x,i) % MOD * pow(y,n - i) % MOD) %= MOD;    if (ans)        return 1;    return 0;}int gcd(int x,int y){    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);}int main(){    scanf("%d",&n);    for (int i = 0; i <= n; i++)        scanf("%d",&a[i]);    int count = 0;    while (a[count] == 0)        count++;    if (count != 0)    {        for (int i = 0, j = count; j <= n; i++, j++)        {            a[i] = a[j];        }        n -= count;        ans[++tot].x = 0;        ans[tot].y = 1;    }    if (n == 0)    {        puts("0");        return 0;    }    int xx = abs(a[0]);    int yy = abs(a[n]);    int x = sqrt(xx);    int y = sqrt(yy);    for (int i = 1; i <= x; i++)        if (xx % i == 0)        {            fac[0][++cnt[0]] = i;            if (i * i <= xx && xx / i != i)                fac[0][++cnt[0]] = xx / i;        }    for (int i = 1; i <= y; i++)        if (yy % i == 0)        {            fac[1][++cnt[1]] = i;            if (i * i <= yy && yy / i != i)                fac[1][++cnt[1]] = yy / i;        }    for (int i = 1; i <= cnt[0]; i++)        for (int j = 1; j <= cnt[1]; j++)            if (gcd(fac[0][i],fac[1][j]) == 1)            {                if (!cheak(fac[0][i],fac[1][j]))                    ans[++tot].x = fac[0][i], ans[tot].y = fac[1][j];                if (!cheak(-fac[0][i],fac[1][j]))                    ans[++tot].x = -fac[0][i], ans[tot].y = fac[1][j];            }    std::sort(ans + 1, ans + tot + 1);    printf("%d\n",tot);    for (int i = 1; i <= tot; i++)        if (ans[i].y != 1)            printf("%d/%d\n",ans[i].x,ans[i].y);        else printf("%d\n",ans[i].x);}