紫书数论小结

扩展欧几里得算法可以解 ax+by=gcd(a,b) 。
若 ax+by+c=0 有解， 那么 −c 必须是 gcd(a,b) 的倍数。
将 x1,x2,y1,y2 代入原方程，可得 ax1+by1=ax2+by2 ，整理得 a(x1−x2)=b(y2−y1) ，两边除以 gcd(a,b) 可得 a′(x1−x2)=b′(y2−y1) ，此时a′ 与 b′ 互质，因此 x1−x2 一定是 a′ 的整数倍，设它为 kb′， 这样 y2−y1=ka′因此得到结论：
若得到ax+by+c=0 的一组解 (x0,y0) ，那么它的任意整数解可以写成 (x0+kb′,y0−ka′) 。

线性同余方程 ax=b mod p ，可以写成 ax=py+b ，ax−py=b，因此其有解的充要条件是 b=gcd(a,p) 。