二阶齐次线性递推通项公式的寻找

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前置技能：斐波那契数列与二阶线性递推

斐波那契数列f(n)是递归定义的：

f(n)=f(n−1)+f(n−2),n≥2

其中f(0)=0,f(1)=1。如果使用艾弗森约定处理分段，可以用一个公式统一：

f(n)=f(n−1)+f(n−2)+[n=1]

一般地，一个二阶线性递推式被递归地定义：

g(n)=αg(n−1)+βg(n−2),n≥2

其中g(0)=λ,g(1)=μ。同样地，使用艾弗森约定可以变形为：

g(n)=αg(n−1)+βg(n−2)+λ[n=0]+(μ−λα)[n=1]

容易证明这两种表达形式具有等价性。

技术：生成函数

一个数列g(n)的生成函数为G(n)=⟨g(n)⟩，被定义为：

G(n)=∑ng(n)zn

其中z是一个形式变量。其中许多生成函数可以被写成紧凑的封闭形式，《具体数学》中指出，在写成封闭形式时我们一般不必考虑级数的收敛性。我们考虑一种特殊形式生成函数的封闭形式，其中g(n)=kρn，根据定义有：

G(n)=∑nkρnzn=k+ρz∑ngnzn=k+ρzG(n)

解得：G(n)=k1−ρz

反过来，如果我们知道了一个函数的生成函数形如：G(n)=k1−ρz，我们就可以断言，这个数列的第n项必然是[zn]G=kρn。这将是我们解决问题的关键。

计算过程

g(n)=αg(n−1)+βg(n−2)+λ[n=0]+(μ−λα)[n=1]

由于g(n−1)=⟨0,g(0),g(1),…⟩，可以发现其生成函数为zG(n)。同样的，g(n−2)的生成函数是z2G(n)。对于仅在n=1时有值的项(μ−λa)[n=1]，其生成函数自然是(μ−λa)z。上式被改写为：

G(n)=αzG(n)+βz2G(n)+λ+(μ−λa)z

解方程得到：

G(n)=λ+(μ−λα)z1−αz−βz2

考虑将这个式子表示成A1−pz+B1−qz的形式，以便用上面的技术解决问题。通分后得到分母的方程：

(1−pz)(1−qz)=1−αz−βz2

也就是：

pq=−βp+q=α

解得：

p=α+t2,q=α−t2,t=α2+4β−−−−−−√

分子的方程则是：

A(1−qz)+B(1−pz)=λ+(μ−λα)z

展开并解方程，得到：

A=λt−λα+2μ2t,B=λα+λt−2μ2t

则我们断言，原方程第n项[zn]G=Apn+Bqn。整理后也就是：

λt−λα+2μ2t(α+t2)n+λα+λt−2μ2t(α−t2)n

代入数据发现可以满足斐波那契数列和一些小的情景，我们基本可以确定这个公式的正确性。

其他

运用同样的技术，我们可以方便地处理含有常数项甚至f(n)项的线性递推数列。