第六章 二叉树的性质

性质一

在二叉树中的第i层上至多有2(i−1)个结点。
第一层是根结点，只有一个，所以2(1−1)=20=1，
第二层有两个，2(2−1)=21=2
…
通过数学归纳法，在二叉树的第i层上至多有2i−1个结点。

性质二

深度为k的二叉树至多有2k−1个结点，注意是2k之后再减一，而不是2k−1
如果只有一层，则有21−1=1个结点，
如果两层，则有22−1=3个结点，
如果两层，则有23−1=7个结点，
…
因此如果有k层，则总共有2k−1个结点。

性质三

对任何一棵二叉树，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

证明：终端结点数其实就是叶子结点数，一棵二叉树，除了叶子结点外，剩下的就是度为1或者2的结点数了，假设度为1的结点数为n1，则树T的总结点数n=n0+n1+n2。
再从边来考虑，二叉树的边数为n-1，而总边数同样等于n1+2*n2，因此n-1=n0+n1+n2=n1+2*n2，解得n0=n2+1。

性质四

具有n个结点的完全二叉树的深度为⌊log2n⌋（⌊x⌋表示不大于x的最大整数）。

证明：由满二叉树的定义可知，深度为k的满二叉树的结点数n一定是2k−1，因为这是最多的结点个数，那么对于n=2k−1倒推得到满二叉树的度数为k=log2(n+1)，比如结点数为15的满二叉树，度为4。

完全二叉树是一棵具有n个结点的二叉树，其叶子结点只会出现在最下面两层。其结点数一定少于等于同样度数的满二叉树结点数2k−1，但一定多于2k−1−1。即满足2k−1−1<n≤2k−1。由于结点数n是整数，n≤2k−1意味着n<2k，n≥2k−1，所以2k−1≤n<2n，两边同时取对数，得到k−1≤log2n<k，而k作为度数也是整数，因此k=⌊log2n⌋+1。

性质五

如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为⌊log2n⌋）的结点按层序编号（从第一层到第⌊log2n⌋+1层，每层从左到右），对任一结点i（1≤i≤n）有：
1. 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则双亲是结点⌊i/2⌋。
2. 如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子就是结点2i。
3. 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是2i+1。
例：如下图是一个完全二叉树，度为4，总结点数为10

对于第一条是显然的，i=1时就是根结点。i>1时，比如结点7，它的双亲⌊7/2⌋，结点9，它的双亲就是⌊9/2⌋=4。

第二条，比如结点6，因为2×6=12大于结点总数10，所以结点6无左孩子，它是叶子结点。而结点5，因为2×5=10刚好等于结点总数10，所以它的左孩子是结点10。

第三条，比如结点5，因为2×5+1=11，大于结点总数10，所以它无右孩子。而结点3，因为2×3+1=7小于10，所以它的右孩子是结点7。