LeetCode 494 Target Sum 题解

题意简述：给定一个非负数组nums和目标值S，你需要在每个数之前加上加号或减号组成表达式。求令表达式的值恰好为S的方法总共有多少种。
输入：非负数组nums，目标值S
输出：使表达式的值恰好为S的方法总数。
示例：对于数组[1,1,1,1,1]，S=3，那么总共有5种方法：令其中1个1取-号，剩余4个1取加号即可。

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题解：
表面上看，每个位置都是考虑取加法还是取减法。我们不妨换个思路：记sum=∑ni=0nums[i]，如果一开始令所有数都取减号，那么此时表达式的值是所有数之和的负数−sum，那么为使表达式的值变为S，要填补的差值是S−(−sum)=S+sum,我们需要将一些减号变为加号，表达式的结果随之增加2∗nums[i]。
那么问题就可以这样描述：从nums中取出若干个数，使它们的和的两倍等于S+sum，显而易见的01背包问题。

• 状态转移方程是 dp(i,j)=dp(i−1,j)+dp(i−1,j−nums[i]), dp(i,j)表示考虑前i个数，表达式的值为j的方法总数
• 01背包问题有个很经典的优化：如果j从后往前计算状态，我们可以用一维数组存放状态，而不需要二维数组。此时的状态转移方程是 dp(j)+=dp(j−nums[i])
• 初始状态是dp(0)=1
• 目标状态是dp((S+sum)/2) ，n为nums数的个数

最后的问题是：如何判断不存在这样的方法的情况？第一种情况是S的绝对值大于sum，即全取减号也比S大，全取加号也比S小。第二种情况比较隐蔽，如果S+sum是奇数，那么是不存在满足条件的取法的。

算法实现如下，时间复杂度是O(N*sum)，空间复杂度是O(N)。

class Solution {public:    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {        if(nums.size() == 0) return 0;        int offset = 0;        for(int i = 0;i < nums.size();i++) offset += nums[i];        if(S < -offset || S > offset || (S+offset) % 2 == 1) return 0;        int dp[2001];        for(int i = 0;i < 2001;i++) dp[i] = 0;        dp[0] = 1;        for(int i = 0;i < nums.size();i++) {            for(int j = offset;j >= nums[i];j--) {                dp[j] += dp[j-nums[i]];            }        }        return dp[(S+offset)/2];    }};