四元数

 四元数与旋转轴是一一对应的关系。除了相差一个标量倍数外（标量倍数，是指这么一个意思：对于任何数或者向量a,a与k*a(k是一个实数)本质上是相等的。如a= [1 2 3]，b= [2 4 6]或者b=[0.1 0.2 0.3]）都是相等的。
    四元数的定义：q = [w,x,y,z]其中w是实部，当然也有资料会把四元数写成q = [x,y,z,w]其中w是实部。这都是正确的。注意：q^2 = 1.
    四元数的基本数学方程为 : q = cos (a/2) + i(x * sin(a/2)) + j(y * sin(a/2)) + k(z * sin(a/2)) 其中a表示旋转角度，(x,y,z)表示旋转轴。
    说明：三维空间坐标系下，物体的旋转通常都会涉及到两个坐标系，一个是世界坐标系，一个是物体坐标系。
    常识告诉我们，对于一个物体点A，物体A点在世界坐标系下和物体坐标系下，有两个坐标，X_local=[x_local,y_local,z_local],X_body=[x_body,y_body,z_body],物体点A在物体坐标系下的坐标是不会发生改变的，但在世界坐标系下的坐标会随着整个物体坐标系发生改变而改变。举个不贴切的例子，假定以自己做为物体坐标系，地球做为世界坐标系，其中眼睛做为物体点A，物体点A在物体坐标系下的坐标是不会发生改变的。但是物体点A在世界坐标系下是不会发生改变的（我们经常去不同的地方嘛）。不知道你懂没有，反正我的表述能力差不多就这样了。


下面是如何把具体的四元数与旋转轴和旋转角度对应起来。
    1.指出旋转轴和旋转角度，如何转化为四元素。
    假定旋转轴是：RAxis = Z轴，换算成三维空间单位向量就是RAxis = [0 0 1],旋转60度
    那么转化成四元数就是
    q.w=cos((60/2)*pi/180) = 0.866
    q.x=RAix.x*sin((60/2)*pi/180) = 0*0.5=0
    q.y=RAix.y*sin((60/2)*pi/180) = 0*0.5=0
    q.z=RAix.z*sin((60/2)*pi/180) = 1*0.5=0.5
    例子验证：从三维空间中看，假定物体点A=[0 1 0],绕 RAxis = Z轴，旋转30度(假定顺时针为正，因为matlab就是顺时针为正，而下面的quat2dcm函数是matlab自带的)
那么物体点A旋转后在世界坐标系下的坐标将是B=[0.866 0.5 0],
     如何用四元数计算出呢？思路是这样的：任何一个四元数对应着一个旋转3*3矩阵。
M=quat2dcm(q)*A'=[0.866;0.5;0],关于quat2dcm在软件matlab里面有。
    2.指出四元数，怎么知道旋转轴和旋转角度呢。
      假定q=[0.866,0,0,0.5](其实这个是上面的反例子而已)
      q.w=cos((a/2)*pi/180) = 0.866
      q.x=RAix.x*sin((a/2)*pi/180) = 0
      q.y=RAix.y*sin((a/2)*pi/180) = 0
      q.z=RAix.z*sin((a/2)*pi/180) = 0.5
从上面可以得到:RAix.x=RAix.y=0
由cos((a/2)*pi/180) = 0.866，得到
a = 60或120
由RAix.z*sin((a/2)*pi/180) = 0.5，得到
a = 60或150
        因此a = 60度(四元数的旋转角度一般是在0-360之间，之后就是多一圈的问题。

        于是可得RAix.z = 1,因此其他q=[0.866,0,0,0.5]意味着旋转轴是RAxis =[0 0 1]，旋转角度是60度，其他的类似可以计算

---------------------------

在3D程序中，通常用quaternion来计算3D物体的旋转角度，与Matrix相比，quaternion更加高效，占用的储存空间更小，此外也更便于插值。在数学上，quaternion表示复数w+xi+yj+zk，其中i,j,k都是虚数单位： 

　　i*i = j*j = k*k= -1 
　　i*j = k, j*i = -k 

　　可以把quaternion看做一个标量和一个3D向量的组合。实部w表示标量，虚部表示向量标记为V，或三个单独的分量（x,y,z）。所以quaternion可以记为[ w, V]或[ w，（x,y,x）]。对quaternion最大的误解在于认为w表示旋转角度，V表示旋转轴。正确的理解应该是w与旋转角度有关，v与旋转轴有关。例如，要表示以向量N为轴，轴旋α度,相对的quaternion应该是： 
　　q = [ cos(α/ 2) , sin(α/ 2) N] 
　　  =[ cos(α/ 2) , ( sina(α/ 2) Nx, sin(α/ 2)Ny, sin(α/ 2)Nz ) ] 

　　为了计算方便，一般要求N为单位矢量。对quaternion来说使用四个值就能记录旋转，而不是Matrix所需的十六个值。为什么用quaternion来计算旋转很方便呢?先说过quaternion是一个复数,如果你还记得一点点复数的知识,那么应该知道复数乘法(叉乘)的几何意义实际上就是对复数进行旋转。对最简单的复数p= x + yi来说，和另一个复数q = ( conα，sinα)相乘，则表示把p沿逆时针方向旋转α： 
　　p’ = pq 
　　当然，x+yi的形式只能表示2D变换，对3D变换来说就需要使用 quaternion了，而且计算也要复杂一点。为了对3D空间中的一个点p（x,y,z）进行旋转，需要先把它转换为quaternion形式p = [0, ( x, y, z)]，接下来前面讨论的内容，定义q = cos(α/ 2) , sin(α/ 2) N为旋转quaternion，这里N为单位矢量长度的旋转轴，α为旋转角度。那么旋转之后的点p’则为： 
       p’ = qpq-1