四元数的运算规则

来源：互联网发布：淘宝怎么买115会员编辑：程序博客网时间：2024/05/01 15:42

转载文章地址：http://blog.csdn.net/chenlanjie842179335/article/details/8039031

四元数是由爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿在1843年发现的数学概念。四元数的乘法不符合交换律。

明确地说，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。

基础

定义

复数是由实数加上元素 i 组成，其中

$i^2 = -1 \,$ 。

相似地，四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系：

$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \,$

每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为 $a + bi + cj + dk \,$ 。

要把两个四元数相加只需将相类的系数加起来就可以，就像复数一样。至于乘法则可跟随以下的乘数表：

×1ijk11ijkii-1k-jjj-k-1ikkj-i-1

四元数的单位元的乘法构成了八阶四元群， $Q_8$ 。

例子

假设：

$x = 3 + i \,$

$y = 5i + j - 2k \,$

那么：

$x + y = 3 + 6i + j - 2k \,$

$xy = \left( {3 + i} \right)\left( {5i + j - 2k} \right) = 15i + 3j - 6k + 5i^2 + ij - 2ik$

$= 15i + 3j - 6k - 5+ k + 2j = - 5 + 15i + 5j - 5k \,$

性质

四元数不像实数或复数那样，它的乘法是不可交换的，例如

$i \, j = k, \, j \, i = -k$ ；

$j \, k = i, \, k \, j = -i$ ；

$k \, i = j, \, i \, k = -j$ 。

四元数是除法环的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。

四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。

四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的 n-阶多项式能有多于 n 个不同的根。例如方程式 $h^2 + 1 = 0 \,$ 就有无数多个解。只要是符合 $b^2 + c^2 + d^2 = 1 \,$ 的实数，那么 $h = b \, i + c \, j + d \, k$ 就是一个解。

一个四元数 $h = a + b \, i + c \, j + d \, k$ 的共轭值定义为：

$h^* = a - b \, i - c \, j - d \, k$

而它的绝对值则是非负实数，定义为：

$\left| h \right| = \sqrt {h \cdot h^ * } = \sqrt {a^2 + b^2 + c^2 + d^2 }$

注意 $(h \, k)^* = k^* \, h^*$ ，一般状况下不等于 $h^* \, k^*$ 。

四元数的乘逆可以 $h^{ - 1} = \frac{{h^* }}{{\left| h \right|^2 }}$ 算得。

透过使用距离函数 $d(h, k) = |h - k| \,$ ，四元数便可成为同胚于 $\mathbb{R}^4$ 的度量空间，并且有连续的算术运算。另外，对于所有四元数 $h \,$ 和 $k \,$ 皆有 $|h \, k| = |h| \, |k|$ 。若以绝对值为模，则四元数可组成一实数巴拿赫空间。

群旋转

如四元数和空间转动条目所释，非零四元数的乘法群在R³的实部为零的部分上的共轭作用可以实现转动。单位四元数（绝对值为1的四元数）若实部为cos(t)，它的共轭作用是一个角度为2t的转动，转轴为虚部的方向。四元数的优点是：

表达式无奇点（和例如欧拉角之类的表示相比）
比矩阵更简炼（也更快速）
单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。

所有单位四元数的集合组成一个三维球S³和在乘法下的一个群（一个李群）。S³是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群SO(3,R)的双重复盖，因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群S³和SU(2)同构，SU(2)是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令A为形为a + bi + cj + dk的四元数的集合，其中a, b, c和d或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合A是一个环，并且是一个格。该环中存在24个四元数，而它们是施莱夫利符号为{3,4,3}的正二十四胞体的顶点。

以矩阵表示四元数

有两种方法能以矩阵表示四元数，并以矩阵之加法、乘法应用于四元数之加法、乘法。

第一种是以二阶复数矩阵表示。若 h = a + bi + cj + dk 则它的复数形式为：

$\begin{pmatrix} a-di & -b+ci \\ b+ci & \;\; a+di \end{pmatrix}$

这种表示法有如下优点：

所有复数 (c = d = 0) 就相应于一个实矩阵。
四元数的绝对值的平方就等于矩阵的行列式。
四元数的共轭值就等于矩阵的共轭转置。
对于单位四元数 (|h| = 1) 而言，这种表示方式给了四维球体和SU(2)之间的一个同型，而后者对于量子力学中的自旋的研究十分重要。（请另见泡利矩阵）

第二种则是以四阶实数矩阵表示：

$\begin{pmatrix}\;\;a&-b&\;\;d&-c\\ \;\;b&\;\;a&-c&-d\\-d&\;\;c&\;\;a&-b\\ \;\;c&\;\;d&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}$

其中四元数的共轭等于矩阵的转置。

四元数运算

四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。有时候采用带有复数元素之四元数会比较容易，导得结果不为除法代数之形式。然而亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。

此处仅讨论具有实数元素之四元数，并将以两种形式来描述四元数。其中一种是矢量与标量的结合，另一形式两个创建量(constructor)与双矢量(bivector；i、j与k)的结合。

定义两个四元数:

$q = a + \vec{u} = a + bi + cj + dk$

$p = t + \vec{v} = t + xi + yj + zk$

其中 $\vec{u}$ 表示矢量<b, c, d>，而 $\vec{v}$ 表示矢量<x, y, z>.

加、乘和一般函数

四元数加法：p + q: 跟复数、矢量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来：

$p + q = a + t + \vec{u} + \vec{v} = (a + t) + (b + x)i + (c + y)j + (d + z)k$

加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。

四元数乘法：pq: 两个四元数之间的非可换乘积通常被格拉斯曼称为积，这个积上面已经简单介绍过，它的完整型态是：

$pq = at - \vec{u}\cdot\vec{v} + a\vec{v} + t\vec{u} + \vec{v}\times\vec{u}$

$pq = (at - bx - cy - dz) + (bt + ax + cz - dy)i + (ct + ay + dx - bz)j + (dt + za + by - xc)k \,$

由于四元数乘法的非可换性，pq并不等于qp。格拉斯曼积常用在描述许多其他代数函数。qp乘积的矢量部分是:

$qp = at - \vec{u}\cdot\vec{v} + a\vec{v} + t\vec{u} - \vec{v}\times\vec{u}$

四元数点积： p · q: 点积也叫做欧几里得内积，四元数的点积等同于一个四维矢量的点积。点积的值是p中每个元素的数值与q中相应元素的数值的乘积的和。这是四元数之间的可换积，并返回一个标量。

$p \cdot q = at + \vec{u}\cdot\vec{v} = at + bx + cy + dz$

点积可以用格拉斯曼积的形式表示:

$p \cdot q = \frac{p^*q + q^*p}{2}$

这个积对于从四元数分离出一个元素有用。例如，i项可以从p中这样提出来：

$p \cdot i = x$

四元数外积：Outer(p,q)

欧几里得外积并不常用; 然而因为外积和内积的格拉斯曼积形式的相似性.它们总是一同被提及:

$\operatorname{Outer}(p,q) = \frac{p^*q - q^*p}{2}$

$\operatorname{Outer}(p,q) = a\vec{u} - t\vec{v} - \vec{v}\times\vec{u}$

$\operatorname{Outer}(p,q) = (ax - tb - cz + dy)i + (ay - tc - dx + bz)j + (az - td - by + xc)k$

四元数偶积：Even(p,q)

四元数偶积也不常用，但是它也会被提到，因为它和奇积的相似性。它是纯对称的积；因此，它是完全可交换的。

$\operatorname{Even}(p,q) = \frac{pq + qp}{2}$

$\operatorname{Even}(p,q) = at - \vec{u}\cdot\vec{v} + a\vec{v} + t\vec{u}$

$\operatorname{Even}(p,q) = (at - bx - cy - dz) + (ax + tb)i + (ay + tc)j + (az + td)k$

四元数叉积：p × q

四元数叉积也称为奇积。它和矢量叉积等价，并且只返回一个矢量值：

$p \times q = \frac{pq - qp}{2}$

$p \times q = \vec{u}\times\vec{v}$

$p \times q = (cz - dy)i + (dx - bz)j + (by - xc)k$

四元数转置：p⁻¹

四元数的转置通过p⁻¹p = 1被定义。它定义在上面的定义一节，位于属性之下（注意变量记法的差异）。其建构方式相同于复倒数(complex inverse)之构造：

$p^{-1} = \frac{p^*}{p\cdot p}$

一个四元数的自身点积是个标量。四元数除以一个标量等效于乘上此标量的倒数，而使四元数的每个元素皆除以此一除数。

四元数除法：p⁻¹q

四元数的不可换性导致了 p⁻¹q 和 qp⁻¹的不同。这意味着除非p是一个标量,否则不能使用q/p这一符号。

四元数标量部：Scalar(p)

四元数的标量部分可以用前面所述的点积来分离出来：

$1\cdot p = \frac{p + p^*}{2} = a$

四元数矢量部：Vector(p)

四元数的矢量部分可以用外积提取出来，就象用点积分离标量那样：

$\operatorname{Outer}(1, p) = \frac{p - p^*}{2} = \vec{u} = bi + cj + dk$

四元数模：|p|

四元数的绝对值是四元数到原点的距离。

$|p| = \sqrt{p \cdot p} = \sqrt{p^*p} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$

四元数符号数：sgn(p)

一复数之符号数乃得出单位圆上，一个方向与原复数相同之复数。四元数的符号数亦产生单位四元数：

$\sgn(p) = \frac{p}{|p|}$

四元数辐角：arg(p)

辐角函数可找出一4-矢量四元数偏离单位标量(即：1)之角度。此函数输出一个标量角度。

$\arg(p) = \arccos\left(\frac{\operatorname{Scalar}(p)}{|p|}\right)$

幂和对数

因为四元数有除法，所以幂和对数可以定义。

自然幂： $\exp(p) = \exp(a)(\cos(|\vec{u}|) + \sgn(\vec{u})\sin(|\vec{u}|))$

自然对数： $\ln(p) = \ln(|p|) + \sgn(\vec{u})\arg(p)$

幂： $p^q = e^{q\ln(p)} \,$

三角函数

正弦： $\sin(p) = \sin(a)\cosh(|\vec{u}|) + \cos(a)\sgn(\vec{u})\sinh(|\vec{u}|)$

余弦： $\cos(p) = \cos(a)\cosh(|\vec{u}|) - \sin(a)\sgn(\vec{u})\sinh(|\vec{u}|)$

正切： $\tan(p) = \frac{\sin(p)}{\cos(p)}$

双曲函数

双曲正弦: $\sinh(p) = \sinh(a)\cos(|\vec{u}|) + \cosh(a)\sgn(|\vec{u}|)\sin(|\vec{u}|)$

双曲余弦: $\cosh(p) = \cosh(a)\cos(|\vec{u}|) + \sinh(a)\sgn(|\vec{u}|)\sin(|\vec{u}|)$

双曲正切: $\tanh(p) = \frac{\sinh(p)}{\cosh(p)}$

反双曲函数

反双曲正弦: $\operatorname{arcsinh}(p) = \ln(p + \sqrt{p^2 + 1})$

反双曲余弦: $\operatorname{arccosh}(p) = \ln(p + \sqrt{p^2 - 1})$

反双曲正切: $\operatorname{arctanh}(p) = \frac{\ln(1+q)-\ln(1-q)}{2}$

反三角函数

将这些被放到最后，是因为需要先定义四元数中的反双曲三角函数。

反正弦函数: $\arcsin(p) = -\sgn(\vec{u})\operatorname{arcsinh}(p \sgn(\vec{u}))$

反余弦函数: $\arccos(p) = -\sgn(\vec{u})\operatorname{arccosh}(p)$

反正切函数: $\arctan(p) = -\sgn(\vec{u})\operatorname{arctanh}(p \sgn(\vec{u}))$

0 0