最长上升子序列

问题描述

给你一个有n个元素的数列b，你需要从中找到一个子序列a，a中元素满足ai <ai+1并且a的长度是最长的，我们称a为b的最长上升子序列。

解题思路

            对于这个问题，我们通常采取动态规划的方式来解决，设dp[i]为以第i个元素结尾的上升子序列的长度，dp[1]-dp[n]初始化为1，dp[0]初始化为0，当我们计算dp[i]的结果的时候，前i个结果我们以前计算得出，则我们可以根据前面计算的结果进行转移，

                    dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1)(1<=j<i && b[i] > b[j])

朴素的算法思想如上所述，其时间复杂度为O(n2),但是我们可以对这个算法进行优化，进一步降低它的时间复杂度。假定我们已经计算完成了前m个元素结尾的上升子序列的度，其中dp[i]=dp[j],1<=i<=m,1<=j<=m,i != j。如果b[i] < b[j],当我们下一次遇到b[k] > b[j]时，我们即可以选择b[i]结尾的序列,也可以选择b[j]结尾的序列，但是由于选择b[i]并不会影响最优解，因此我们每次都讲相同长度下结尾较小的元素保留下来，这样可以实现O(nlg(n))的时间复杂度。

示例代码

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 100000+5;const int INF = 0x3f3f3f3f;int a[maxn];int g[maxn];//保存长度为n的上升子序列的结尾元素int main(){    int n;    while(scanf("%d",&n) != EOF)    {        for(int i = 0; i<n; i++)        {            scanf("%d",&a[i]);        }        memset(g,INF,sizeof(g));        int ans = -INF;        for(int i = 0; i<n; i++)        {            int p = lower_bound(g+1,g+n+1,a[i]) - g;//寻找第一个小于a[i]的结尾元素的上升子序列的长度            g[p] = a[i];//更新长度为p的上升子序列结尾元素的最小值            ans = max(p,ans);        }        /*for(int i = 1;i<=n;i++)        {            cout << g[i] << endl;        }*/        cout << ans << endl;    }    return 0;}