I have a date with Algorthim

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• 定义:
  
  • 在计算机科学中, 二分搜索(binary search), 也称折半搜索(half-interval search)、对数搜索(logarithmic search), 是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法.
  • 搜索过程从数组的中间元素开始, 如果中间元素正好是要查找的元素, 则搜索过程结束;
  • 如果某一特定元素大于或者小于中间元素, 则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找,而且跟开始一样从中间元素开始比较.
  • 如果在某一步骤数组为空, 则代表找不到.(也就代表遍历完整个数组也没有找到这个元素).
  • 这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半.

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• 解析步骤:
  
  • 给予一个包含n个带值元素的数组A或是记录A0 ... An−1, 使得A0 ≤ ... ≤ An−1(有序数组), 以及目标值T，还有下列用来搜索T在A中位置的子程序.
    
    • a. 令L为0, R为n− 1.
    • b. 如果L > R, 则搜索以失败告终.
    • c. 令m(中间值元素)为(L + R) / 2加上下高斯符号.
    • d. 如果Am < T, 令L为m + 1并回到步骤二.
    • e. 如果Am > T, 令R为m - 1并回到步骤二.
    • f. 当Am = T, 搜索结束: 回传值m.
  • 这个迭代步骤会持续通过两个变量追踪搜索的边界.
  • 有些实际应用会在算法的最后放入相等比较, 让比较循环更快, 但平均而言会多一层迭代.
  • 这时候需要联想分治的思想, 分解的子问题之间相互独立且与原问题的形式相同.
  • 最重要的就是子问题的合并可以得到原问题的解.

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• 大致匹配:
  
  • 以上程序只适用于完全匹配, 也就是查找一个目标值的位置.
  • 不过,因为有序数组的顺序性,将二分搜索算法扩展到能适用大致匹配并不是很重要.
  • 举例来说, 二分搜索算法可以用来计算一个赋值的排名(或称秩, 比它更小的元素的数量)、前趋(下一个最小元素)、后继(下一个最大元素)以及最近邻.
  • 搜索两个值之间的元素数目的范围查询可以借由两个排名查询(又称秩查询)来运行.
  • 排名查询可以使用调整版的二分搜索来运行.
  • 借由在成功的搜索回传m, 以及在失败的搜索回传L, 就会取而代之地回传了比起目标值小的元素数目.
  • 前趋和后继查询可以借由排名查询来运行.
  • 一旦知道目标值的排名, 其前趋就会是那个位于其排名位置的元素(因为它是小于目标值的最大元素).
  • 其后继是(数组中的)下一个元素, 或是（非数组中的）前趋的下一个元素.
  • 目标值的最近邻可能是前趋或后继, 取决于何者较为接近.
  • 范围查询也是直接了当的.
  • 一旦知道两个值的排名, 不小于第一个值且小于第二个值的元素数量就会是两者排名的差.
  • 这个值可以根据范围的端点是否算在范围内, 或是数组是否包含其端点的对应键来增加或减少1.

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• 复杂度分析:
  
  • 时间复杂度
    
    • 折半搜索每次把搜索区域减少一半, 时间复杂度为 O(log n).(n代表集合中元素的个数)
  • 空间复杂度
    
    • O(1).
    • 虽以递归形式定义, 但是尾递归, 可改写为循环.

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• 示例代码:

    // 递归版本    int binary_search(const int arr[], int start, int end, int khey) {        if (start > end) // 上面的L > R            return -1;        int mid = start + (end - start) / 2; //直接平均可能會溢位，所以用此算法        if (arr[mid] > khey)            return binary_search(arr, start, mid - 1, khey);        if (arr[mid] < khey)            return binary_search(arr, mid + 1, end, khey);        return mid; //最後檢測相等是因為多數搜尋狀況不是大於要不就小於    }

    // while循环    int binary_search(const int arr[], int start, int end, int khey) {        int mid;        while (start <= end) {            mid = start + (end - start) / 2; //直接平均可能會溢位，所以用此算法            if (arr[mid] < khey)                start = mid + 1;            else if (arr[mid] > khey)                end = mid - 1;            else                return mid; //最後檢測相等是因為多數搜尋狀況不是大於要不就小於        }        return -1;    }

    //javascript版本    Array.prototype.binary_search = function(low, high, khey) {        if (low > high)            return -1;        var mid = parseInt((high + low) / 2);        if (this[mid] > khey)            return this.binary_search(low, mid - 1, khey);        if (this[mid] < khey)            return this.binary_search(mid + 1, high, khey);        return mid;    };

    # python版本    def binary_search(arr,start,end,hkey):        if start > end:            return -1        mid = start + (end - start) / 2        if arr[mid] > hkey:            return binary_search(arr, start, mid - 1, hkey)        if arr[mid] < hkey:            return binary_search(arr, mid + 1, end, hkey)        return mid

    //c#版本        static int binary_search(int[] arr, int start, int end, int khey)        {            int mid;            while (start <= end)            {                mid = (start + end) / 2;                if (arr[mid] < khey)                    start = mid + 1;                else if (arr[mid] > khey)                    end = mid - 1;                else                    return mid;             }            return -1;        }

JackDan9 Thinking.
JackDan9 with Algorthim.

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