330. Patching Array（Hard）

原题目：
　　Given a sorted positive integer array nums and an integer n, add/patch elements to the array such that any number in range [1, n] inclusive can be formed by the sum of some elements in the array. Return the minimum number of patches required.

Example 1:nums = [1, 3], n = 6Return 1.Combinations of nums are [1], [3], [1,3], which form possible sums of: 1, 3, 4.Now if we add/patch 2 to nums, the combinations are: [1], [2], [3], [1,3], [2,3], [1,2,3].Possible sums are 1, 2, 3, 4, 5, 6, which now covers the range [1, 6].So we only need 1 patch.Example 2:nums = [1, 5, 10], n = 20Return 2.The two patches can be [2, 4].Example 3:nums = [1, 2, 2], n = 5Return 0.

题目大意如下：
　　给定一个从小到大排好序的正整数数组nums和一个整数n，要求在这些数组中补充一些元素，使得[1，n]这个区间的所有数都能由数组中的部分元素求和得到。返回需要添加的最少的元素个数。

解题思路：
　　这个问题问的是“the minimum number of patches required”也就是要求出一个最优解，一般涉及到最优解的问题都可以用动态规划或者贪心算法解决，这里我们可以先用贪心算法。那理所当然的下一步，就是寻找最优子结构——子问题的最优解。
　　举个例子，nums=[1,2,3,9]，既然这个数组已经是排好序的，很自然我们会想到从左到右遍历这个数组看看我们会有什么发现。
　　遇到nums[0] = 1，那么[1]这个区间的所有数可以得到；
　　遇到nums[1] = 2，那么[1,2,3]这个区间的所有数可以得到；
　　遇到nums[2] = 3，那么[1,2,3,4,5,6]这个区间的所有数可以得到；
　　遇到nums[4] = 9，那我们只能得到[1,2,3,4,5,6　,　9,10…15]这个区间内的所有数，显然我们需要7和8。
　　要得到7，我们可以从[1,2,3,4,5,6,7]当中任意挑选一个数，那哪个是最优选择呢？显然，最能让我们快速到达结果的那个就是最优，即最大的那个数——7（也是原来区间当中最大的数加一）。当我们选择7之后（从遇到nums[2]往后遍历），我们可以得到[1…13]这个区间里的所有数。最后遇到nums[4] = 9我们 [1…21]这个区间里的所有数。
　　最后，当区间里最大的数小于n时，重复按照以上标准添加元素即可。
　　
注意：
　　对于区间的扩展，如果我们可以得到1到n的所有数，当我们拿进来n+1，那我们可以得到1到n+(n+1)所有数。例如，[1,2,3,4,5,6]，如果我们有7则可以得到[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13]——把7对应每个元素相加即可。
　　
代码如下：

class Solution {public:    int minPatches(vector<int>& nums, int n) {        //sum到最后数字可能会变得特别大        long sum = 0 , ans = 0 ;        //如果区间为空，一直添加最大值加一        if(nums.empty()){            while(sum < n){                sum += sum +1 ;                ans++ ;            }            return ans ;        }        for(int i = 0 ; i < nums.size() ; ++i){            while(nums[i] > sum + 1){                sum += sum +1 ;                ans++ ;                //每次添加后判断是否满足，避免多余添加                if(sum >= n) return ans ;            }            sum += nums[i] ;            if(sum >= n) return ans ;        }        //如果原来的区间遍历完以后还没有大于n        while(sum < n){            sum += sum +1 ;            ans++ ;        }        return ans ;    }};

运行结果：

算法分析：
　　最主要的是便利整个数组，所以为O(n)。