The 2016 ACM-ICPC Asia China-Final Contest H题 数学 + 思维

题意：

题目链接：http://codeforces.com/gym/101194/attachments
给出一个n*m的格子的棋盘，要求在其中每个格子填上一个范围是[1,k]的数，若一个格子里的数比所在行和所在列的其他数都要大，那么这个格子就是个特殊格子，现在要求如下表达式的值：

其中Ag表示能在棋盘中构造出恰好g个特殊格子的方案数。

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思路：

其实就是算贡献，题目没有说要求Ag，就不要钻牛角尖。
从要求的表达式出发，可以拆成两个部分g*Ag和Ag，Ag的和很简单，很显然就是所有方案，也就是K^(n*m)。
对于g*Ag的总和，我们可以考虑贡献，假设当前另一点为特殊点，除了所在行和所在列的其他元素都任意填，假设这样有x种方案。Ag既然表示能构造出g个特殊点的方案，那么对于某一种恰好存在g个点的方案，如果我们从这个g个不同的点计算x的话，那么在所有点x的总和中，这个方案就被计算了g次，这不就是要求的结果么。
所以直接算出某一个点的x，然后乘上n*m，这就是g*Ag的和。

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代码：

代码非常简单。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;const LL MOD = 1e9 + 7;LL pow_mod(LL a, LL n) {    LL res = 1;    while (n) {        if (n & 1) res = res * a % MOD;        a = a * a % MOD;        n >>= 1;    }    return res;}int main() {    //freopen("in.txt", "r", stdin);    int T, cs = 0;    scanf("%d", &T);    while (T--) {        LL n, m, k;        scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &k);        LL ans = 0;        for (int i = 1; i <= k; i++) {            ans = (ans + pow_mod(i - 1, n + m - 2)) % MOD;        }        LL rest = pow_mod(k, n * m - n - m + 1) % MOD;        ans = ans * rest % MOD * m % MOD * n % MOD;        ans = (ans + pow_mod(k, m * n)) % MOD;        printf("Case #%d: %I64d\n", ++cs, ans);    }    return 0;}