模拟退火算法

本文转自 http://www.cnblogs.com/CsOH/p/6049117.html   鸣谢原作者zlxq.

一道题目：CodeVS 1344

有 N ( <=20 ) 台 PC 放在机房内，现在要求由你选定一台 PC，用共 N-1 条网线从这台机器开始一台接一台地依次连接他们，最后接到哪个以及连接的顺序也是由你选定的，为了节省材料，网线都拉直。求最少需要一次性购买多长的网线。（说白了，就是找出 N 的一个排列 P1 P2 P3 ..PN 然后 P1 -> P2 -> P3 -> ... -> PN 找出 |P1P2|+|P2P3|+...+|PN-1PN| 长度的最小值)

　　这种问题被称为最优组合问题。传统的动态规划算法O(n²2ⁿ)在n = 20的情况下空间、时间、精度都不能满足了。这时应该使用比较另类的算法。随机化算法在n比较小的最优化问题表现较好，我们尝试使用随机化算法。

50分代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>


const int maxn = 21;
double x[maxn], y[maxn];
double dist[maxn][maxn];
int path[maxn];
int n;
double path_dist(){
    double ans = 0;
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        ans += dist[path[i - 1]][path[i]];
    }
    return ans;
}
int main(){
    srand(19260817U);                            // 使用确定的种子初始化随机函数是不错的选择 
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf%lf", x + i, y + i);
    for(int i = 0; i < n; i++) for(int j = i + 1; j < n; j++) dist[i][j] = dist[j][i] = hypot(x[i] - x[j], y[i] - y[j]);
    
    for(int i = 0; i < n; i++) path[i] = i;        // 获取初始排列 
    double ans = path_dist();                    // 初始答案 
    int T = 30000000 / n;                         // 单次计算的复杂度是O(n)，这里的30000000是试出来的 
    while(T--){
        std::random_shuffle(path, path + n);    // 随机打乱排列 
        ans = std::min(ans, path_dist());        // 更新最小值 
    }
    printf("%.2lf", ans);
}

使用O(n!)枚举排列和使用上述算法没有太大的不同。从解的角度分析，假如某一次计算尝试出了一个比较好的路径，那么最优的路径很可能可以在原基础上作一两次改动就可以得到，这时候完全打乱整个序列不是一个很好的选择。

另一个方法：根据原序列生成一个新的序列，然后交换新序列的任意两个数。假如说新生成的序列更优，则使用新序列继续计算，否则序列不变。

这个算法就是局部搜索法（爬山法）。可惜，这个算法不正确。这个算法只顾眼前，忽略了大局，只要更优便走，这样可能会造成“盯着眼前的小山包，忽略远处的最高峰”，找到的值往往只是“局部最优值”。当然——这个方法也并不是完全不正确。我们可以多次计算使用上述方法计算，取最值。这里不再赘述。

下面介绍模拟退火算法（SA,Simulated Annealing）。

首先拿爬山做例子：我们要找到山脉的最高峰，但是我（计算机）只能看到我的脚下哪边是上升的，哪边是下降的，看不到远处是否上升。每次移动，我们随机选择一个方向。如果这个方向是上升的的（更优），那么就决定往那个方向走；如果这个方向是下降的（更差），那么“随机地接受”这个方向，接受就走，不接受就再随机一次——这个随机是关键，要考虑很多因素。比如，一个陡的下坡的接受率要比一个缓的下坡要小（因为陡的下坡后是答案的概率小）；同样的下降坡度，接受的概率随时间降低（逐渐降低才能趋向稳定）。

　　如果坚决不接受一个更差的解，那么就会卡在上面的“当前位置”上了。倘若接受多几次更差的解，让他移动到山谷那里，则可以突破局部最优解，得到全局最优解。

既然这个随机这么重要，那么我们就将它写为一个函数：

bool accept(double delta, double temper){    if(delta <= 0) return true;    return rand() <= exp((-delta) / temper) * RAND_MAX;} 

　　其中delta是新答案的变化量，temper是当前的“温度”。温度是模拟退火算法的一个重要概念，它随时间的推移缓慢减小。我们来分析一下这个代码：

if(delta <= 0) return true;

　　由于答案越小越优，因此当温度的变化量小于零（新答案减小）时，新解比旧解优，因此返回“接受”

return rand() <= exp((-delta) / temper) * RAND_MAX;

　　RAND_MAX是rand()的最大值。为了保证跨平台、跨编译器甚至跨版本时的正常运作，我们不对其作出任何假定。

　　我们把它移项：return (double)rand() / RAND_MAX <= exp((-delta) / temper)。在右边，temper是正数，delta是正数（delta是负数的已经return出去了），因此exp()中间的参数是负数。我们知道，指数函数在参数是负数时返回(0, 1)——这就是接受的概率。我们在左边随机一个实数，如果它比概率小，就接受，否则就不接受。

　　然后将RAND_MAX移到右边，以省下昂贵的除法成本和避免浮点数的各种陷阱。

　　有了接受函数，就可以写计算过程了：

double solve(){    const double max_temper = 10000;    double temp = max_temper;    double dec = 0.999;    Path p;    while(temp > 0.1){        Path p2(p);        if(accept(p2.dist() - p.dist(), temp)) p = p2;        temp *= dec;    }    return p.dist();}

　　其中Path是路径，它有一个构造函数是接受另一个Path类型的对象，然后交换其中两个点的顺序。

 1 struct Path{ 2     City path[maxn]; 3      4     Path(){ 5         F(i, n) path[i] = citys[i]; 6     } 7      8     Path(const Path& p):path(p.path){ 9         swap(path[rand() % n], path[rand() % n]);10     }11     12     void shuffle(){13         random_shuffle(path, path + n);14     } 15     16     double dist(){17         double ans = 0;18         for(int i = 1; i < n; i++){19             ans += path[i - 1].distTo(path[i]);20         }21         return ans;22     }23 };

　　上文的City是路径一个点。而void shuffle()是随机打乱整个序列（在本题没有用上）。

　　下面是City的定义：

 1 struct City{ 2     double x, y; 3     City(){} 4     City(double x, double y):x(x), y(y){} 5     double distTo(const City& rhs) const { 6         return hypot(x - rhs.x, y - rhs.y); 7     } 8     friend istream& operator >> (istream& in, City& c){ 9         return in >> c.x >> c.y;10     }11 }citys[maxn];

　　最后是程序的主框架：

 1 int main(){ 2     srand(19260817U); 3     ios::sync_with_stdio(false); 4     cin >> n; 5     F(i, n) cin >> citys[i]; 6     double ans = 1./0; 7     int T = 15; 8     while(T--){ 9         ans = min(ans, solve());10     }11     printf("%.2lf", ans);12 } 

　　完整代码如下：

 1 #define F(i, n) for(int i = 0; i < n; i++) 2 #define F1(i,n) for(int i = 1; i <=n; i++) 3 #include<cmath> 4 #include<algorithm> 5 #include<iostream> 6 #include<cstdio> 7 using namespace std; 8  9 const int maxn = 21;10 int n;11 struct City{12     double x, y;13     City(){}14     City(double x, double y):x(x), y(y){}15     double distTo(const City& rhs) const {16         return hypot(x - rhs.x, y - rhs.y);17     }18     friend istream& operator >> (istream& in, City& c){19         return in >> c.x >> c.y;20     }21 }citys[maxn];22 23 struct Path{24     City path[maxn];25     26     Path(){27         F(i, n) path[i] = citys[i];28     }29     30     Path(const Path& p):path(p.path){31         swap(path[rand() % n], path[rand() % n]);32     }33     34     void shuffle(){35         random_shuffle(path, path + n);36     } 37     38     double dist(){39         double ans = 0;40         for(int i = 1; i < n; i++){41             ans += path[i - 1].distTo(path[i]);42         }43         return ans;44     }45 };46 47 48 49 bool accept(double delta, double temper){50     if(delta <= 0) return true;51     return rand() <= exp((-delta) / temper) * RAND_MAX;52 } 53 54 double solve(){55     const double max_temper = 10000;56     double temp = max_temper;57     double dec = 0.999;58     Path p;59     while(temp > 0.1){60         Path p2(p);61         if(accept(p2.dist() - p.dist(), temp)) p = p2;62         temp *= dec;63     }64     return p.dist();65 }66 67 int main(){68     srand(19260817U);69     ios::sync_with_stdio(false);70     cin >> n;71     F(i, n) cin >> citys[i];72     double ans = 1./0;73     int T = 155;74     while(T--){75         ans = min(ans, solve());76     }77     printf("%.2lf", ans);78 } 

　　其实本代码在很多地方写复杂了，比如累赘的City类。在比赛中，我们不会写得如此复杂。下面对其简化：

 1 #include<cstring> 2 #include<cmath> 3 #include<algorithm> 4 #include<iostream> 5 #include<cstdio> 6 using namespace std; 7  8 const int maxn = 21; 9 int n;10 double x[maxn], y[maxn];11 double dist[maxn][maxn];12 13 struct Path{14     int path[maxn];15     16     Path(){17         for(int i = 0; i < n; i++) path[i] = i;18     }19     20     Path(const Path& p){21         memcpy(path, p.path, sizeof path);22         swap(path[rand() % n], path[rand() % n]);23     }24     25     double dist(){26         double ans = 0;27         for(int i = 1; i < n; i++){28             ans += ::dist[path[i - 1]][path[i]];29         }30         return ans;31     }32 };33 34 35 36 bool accept(double delta, double temper){37     if(delta <= 0) return true;38     return rand() <= exp((-delta) / temper) * RAND_MAX;39 } 40 41 double solve(){42     const double max_temper = 10000;43     const double dec = 0.999;44     double temp = max_temper;45     Path p;46     while(temp > 0.01){47         Path p2(p);48         if(accept(p2.dist() - p.dist(), temp)) p = p2;49         temp *= dec;50     }51     return p.dist();52 }53 54 int main(){55     srand(19260817U);56     cin >> n;57     for(int i = 0; i < n; i++) {58         scanf("%lf%lf", x + i, y + i);59     }60     for(int i = 0; i < n; i++){61         dist[i][i] = 0;62         for(int j = i + 1; j < n; j++){63             dist[i][j] = dist[j][i] = hypot(x[i] - x[j], y[i] - y[j]);64         }65     }66     double ans = 1./0;67     int T = 155;68     while(T--){69         ans = min(ans, solve());70     }71     printf("%.2lf", ans);72 } 

　　交上去就可以AC了。

　　由于随机化算法有一定不稳定性，这里要多次调用计算过程取最小值。T=155就是外循环次数。

　　值得注意的是，T=15就可以过80%的数据，T=42可以过完全部数据，此时最大数据运行时间为86ms。这里T取155是保险起见，毕竟时间足够。

　　上面的代码仍有改进的余地。比如，在solve()函数中，应当把最优解记下来，在返回解时返回记下的那个最优解，免得跳到了某些差解后返回差解。

　　下面是一张表供大家估算运行时间，左边是“降温系数”，上方是初温与末温的比值，表格内容是大致的迭代次数。

　　从上表可以看出，增加十倍的初温与末温比值只会增加约25%的迭代次数，而往0.9…99的后面加个9会增加十倍的运行时间。

　　除了记忆上表外，我们还可以通过记录退火次数（将tot初始化为零，每次产生新解时tot++，计算完后看看tot）或者使用计算器计算退火次数。计算后选择一个合适的外循环次数。

　　除此之外，我们还要根据数据规模，灵活地调整初温、末温与降温系数。一般来说，初温不宜太大，否则会让前几次迭代接受了很差的解，浪费时间；降温系数不宜过大，否则会让算法过早稳定，不能找到最优值；同样，降温系数也不宜太高（更不能大于1，不然温度越来越高），否则可能会超时。

　　在正式使用中还有些技巧，如每次降温后，做足够多次计算后才再次降温（内循环），这对算法准确性没有太大影响。

　　除了模拟退火外，还有不少随机化算法。比如遗传算法、蚁群算法，这些算法被称为“元启发算法”，有兴趣的读者可以查阅相关资料。