375. Guess Number Higher or Lower II

一、题目大意

我们在玩一个猜数字的游戏，游戏规则如下：
我从1到n选择一个数字，你来猜我选择的数字。
每次你猜错，我都会告诉真实值是偏大还是偏小。
然而，当你猜了一个数字x，并且猜错的时候，你必须支付$x给我，当你猜到我选择的数字时，你就可以赢得比赛。
例如：
n=10，我选择了8
第一轮：你猜5，我告诉你真实值大于该值，你支付$5；
第二轮：你猜7，我告诉你真实值大于该值，你支付$7；
第三轮：你猜9，我告诉你真实值小于该值，你支付$9；
游戏结束，我选择的数字是8 。
你最终支付了$5+$7+$9=$21。
给定一个值n≥1，求为了保证赢得比赛，你必须有多少钱。

二、编程思路

2.1、2.2节为不成功的编程思路，关心答案的同学可以直接转到2.3即可。

2.1 初刻拍案惊奇

乍一看此题可以使用二分法求解。
n=1,{1},ans=0;
n=2,{1,2},ans=1;
n=3,{1,2,3},ans=2;
n=4,{1,2,3,4},ans=min{2+3,3+1}=4;
…
似乎没问题，令f(x,y)表示猜[x,y]范围内所需要花的钱，med=x+y2，若med为整数，则先猜med；若med不是整数，则猜medf=floor(med)与medc=ceil(med)两种情况，取其中情况较小的。
总结其递推公式如下：

• f(x,y)=0;
• f(x,y)=x,  y=x+1;
• f(x,y)=med+f(x,med−1)+f(med+1,y),  medc==medf
• f(x,y)=min{medc+f(x,medc−1)+f(medc+1,y),medf+f(x,medf−1)+f(medf+1,y)},  medc!=medf

但是当n==5时，根据二分法求出来的是：n=5,{1,2,3,4,5},f(1,5)=3+4=7,而正确的结果应该是f(1,5)=2+4=6。
二分法宣告失败，这是因为二分法只能够找到猜的次数最少的，而不能够保证所猜的数字和最小。

2.2 二刻拍案惊奇

既然二分法不行，那就使用动态规划思路进行求解，继续找规律。
n=1,{1},ans=0;
n=2,{1,2},ans=min{1,2}=1;
n=3,{1,2,3},ans=min{1+2,2,3+1};枚举第一次分别猜1 2 3的情况。
n=4,{1,2,3,4},ans=min{1+{2,3,4}, 2+{3,4}+{1},3+{1,2}+{4}, 4+{1,2,3}}=4;
…
n,{1,2,3,…,n},ans=MINi=ni=1{i+max({1,2,3,…,i−1}, {i+1,…,n}}，即分别枚举猜1…n的情况，从而将问题分解为左右两个子序列的问题。即上式中的{1,2,3,…,i−1}与{i+1,…,n}，然后分别求其需要的钱数即可。

至此，思路还没有出现问题。
经过初步观察似乎可以发现，右边序列需要的钱数{i+1,…,n}?=(似乎等于)i+{1,…,n−i}于是总结出如下递推公式：

• 令dp[i]表示数字范围为1…i之间时，为了保证猜中数字所需要的最少钱数，则
• dp[0]=0;
• dp[1]=0;
• dp[2]=1;
• dp[i]=MINk=ik=1(k+max{dp[k−1],dp[i−j]+((i−j)<2?0:j)})

2.3 三刻拍案惊奇

以上思路中，右边序列需要的钱数{i+1,…,n}?=(似乎等于)i+{1,…,n−i}属于根据直觉得出，与正确结果对比发现，当n≥12时，会出现错误。其实只有当子序列中只猜一次时，以上关系才成立。
继续使用动态规划思路，令dp[i][j]猜中[i,j]范围之内数字时所需要最少钱数。则递推公式很容易获得，
dp[i][j]=MINk=jk=i{k+max{dp[i][k−1],dp[k+1][j]}}

三、代码设计

class Solution {  public:      int getMoneyAmount(int n) {          if(n ==0) return 0;          vector<vector<int> > dp(n+1, vector<int>(n+1, 0));        //注意此处的迭代方向          for(int i = n-1; i > 0; i--)          {              for(int j = i+1; j <=n; j++)              {                  int ans = 0xfffffff;                  for(int k = i; k <j; k++)                      ans = min(ans, k + max(dp[i][k-1], dp[k+1][j]));                  dp[i][j] = ans;              }          }          return dp[1][n];      }  };

参考博客

LeetCode题解
[LeetCode]Guess Number Higher or Lower II