求全排列

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1. 描述

给定一个数组a, 下标从0开始，a中的元素不重复, 求a中元素的全排列。

2. 解法

解法一：

该算法基于公式： Ann=C1n.An−1n−1，即求n个元素的全排列时可以先从n个元素集合中选出1个放在第一个位置，再对其余n - 1个元素做全排列。

#include<iostream>using namespace std;void doPerm(int a[], int start, int n) {    if (start == n) {        for (int i = 0; i < n; ++i)            cout<<a[i]<<" ";        cout<<endl;    } else {        for (int j = start; j < n; ++j) {            swap(a[start], a[j]);            doPerm(a, start + 1, n);            swap(a[start], a[j]);        }    }}inline void perm(int a[], int n) {    doPerm1(a, 0, n);}

n等于3时，算法的求解过程可用下图表示，其中同一父节点下的一层代表一轮for循环（代码第11~15行）的执行。

不考虑输出，其时间复杂度主要在于perm的调用次数或第11行for循环的执行次数，即图中所有结点的次数为 1 + n + n * (n - 1) + … + n * (n - 1) * (n - 2) * … * 1 + n * (n - 1) * (n - 2) * … * 1, 即复杂度为O(n!）。

解法二：

穷举待输出集合b的每一个位置i，该位置未填元素（b[i]等于0），向一个集合中补给一个元素，此例子为先选a集合中下标大的元素，当集合b需要的元素个数为0时，输出该集合。

#include<cstring>#include<iostream>using namespace std;void doPerm(int a[], int n, int cur, int b[]) {    if (cur == 0) {        for (int i = 0; i < n; ++i)            cout<<b[i]<<" ";        cout<<endl;    } else {        for (int j = 0; j < n; ++j) {            if (b[j] == 0) {                b[j] = a[cur - 1];                doPerm(a, n, cur - 1, b);                b[j] = 0;            }        }    }}inline void perm(int a[], int n) {    int* b = new int[n];    memset(b, 0, n * sizeof(int));    doPerm(a, n, n, b);}

求解过程如下图所示， 由于每次向b中添加一个元素都会穷举一次，所以忽略输出的话，算法执行消耗主要在第12行for循环的执行次数上，n等于3时，算法的求解过程可用下图表示，其中同一父节点下的一层代表一轮for循环（代码第11~15行）的执行。

不考虑输出，其时间复杂度主要在于perm的调用次数或第11行for循环的执行次数，即为 1 * n + n + n * (n - 1) * n + … + n * (n - 1) * (n - 2) * … * 1 * n, 其执行次数显然多余解法一的执行次数。