【BZOJ 2194】 快速傅立叶之二

思路：

这个题引入了卷积的知识，下面的式子是一种常用的卷积：

F(x)=f∗g=∑i=0xf(i)g(x−i)

形象的理解：

如果0与n的对应位相乘，所得到的项的位置坐标和相等，这就等价于多项式当中的一个x的幂，累加起来的是x的系数。
那么就模拟多项式的过程，如果R是FFT的答案数组，那F(x)=R[x]。
不难发现，卷积的后两个系数相加，就是现在的答案在FFT答案数组中的位置。

再看这个题：

C[k]=∑i=kn−1a[i]∗b[i−k]

可是这不是卷积的形式，我们可以先把所有的i缩小k。

C[k]=∑i=0n−k−1a[i+k]∗b[i]

为了凑成卷积的形式，我们把a前后翻转，变为ra，所以：

C[k]=∑i=0n−k−1ra[n−k−1−i]∗b[i]

然后就化成了卷积的形式，但是对于一个k的答案，他在FFT中算出来的数要相反，所以C[k]=R[n−k−1]。

代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cmath>using namespace std;const int maxn = 100010*3;const double pi = acos(-1);int Bit, rx[maxn];struct Com{    double x, y;    Com(double X = 0, double Y = 0){x = X, y = Y;}    Com(const Com &t){x = t.x, y = t.y;}    Com operator + (const Com &t) const{return Com(x+t.x, y+t.y);}    Com operator - (const Com &t) const{return Com(x-t.x, y-t.y);}    Com operator * (const Com &t) const{return Com(x*t.x-y*t.y, x*t.y+t.x*y);}};void fft(Com *A, int n, int f){    if(rx[n-1] != n-1) for(int i = 0; i < n; i ++) rx[i] = (rx[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(Bit-1));    for(int i = 0; i < n; i ++) if(i < rx[i]) swap(A[i], A[rx[i]]);    for(int i = 1; i < n; i <<= 1){        const Com Base(cos(pi/i), f*sin(pi/i));        for(int j = 0; j < n; j += (i<<1)){            Com mi(1, 0);            for(int k = 0; k < i; k ++, mi = mi * Base){                Com x = A[j+k], y = A[i+j+k] * mi;                A[j+k] = x+y, A[i+j+k] = x-y;            }        }    }}int n, m;Com a[maxn], b[maxn];int main(){    scanf("%d", &n), m = -- n;    for(int i = 0; i <= n; i ++) scanf("%lf%lf", &a[n-i].x, &b[i].x);    m += n;    for(n = 1; n <= m; n <<= 1, Bit ++);    fft(a, n, 1), fft(b, n, 1);    for(int i = 0; i < n; i ++) a[i] = a[i] * b[i];    fft(a, n, -1);    for(int i = m/2; i >= 0; i --) printf("%d\n", int((a[i].x/n)+0.5));    return 0;}