Codeforces Beta Round #8 E. Beads （数位dp）

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题意：

将所有二进制串（只允许前导 0）中，同时满足字典序不小于其逆序串，取反串和逆序取反串（三种都要满足）的串提出来，按字典序排序，求第m个。 2<=n<=50，1<=m<=1016。

题解：

显然满足题意的二进制串的首位必须是0。考虑一位一位地确定答案串。假设已经确定了答案串的前k位，我们假设第k+1位是0，则要设法统计出满足条件的串的个数s。那么如果s<m，则答案串第k+1位为1，同时m=m−s；否则答案串第k+1位为0。于是问题转化为，统计所有长度为n的，前缀为prefix的二进制串中，满足题目要求的串的个数。这是一类与数位有关的统计问题，于是很容易想到数位dp。那么考虑dp[i][j][rev][inv]表示，当前已经确定了前i位和末j位，rev表示前i位与末j位的逆序是否相等，inv表示前i位与末j位的逆序取反后是否相等。状态转移比较显然，我们枚举第i+1位和第n−i位的取值，如果它满足prefix的限制，且新的串没有违反题目要求（可以利用rev和inv和取值判断）， 那么更新rev和inv的状态，并累加到对应的新状态上。

注意：

如果n为奇数，那么dp到正中间一位的时候，这一位会同时作为前i位和末j位的组成部分，需要特判。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;int n, a[52];  ll k;  bool vis[55][55][2][2];  ll dp[55][55][2][2]; ll ans;ll dfs(int l,int r,int rev,int inv){    if(l>r)return 1;    if(vis[l][r][rev][inv]==true)return dp[l][r][rev][inv];    vis[l][r][rev][inv] =true;    ll &ans=dp[l][r][rev][inv];    ans = 0;    for(int i=0;i<2;i++)    {          if(a[l] == -1 || a[l] == i)        {              for(int j = 0; j < 2; j++)            {                  if(a[r] == -1 || a[r] == j)                {                      if(l < r || i == j) //特判n为奇数的时候，走到最中间的一位                      {                         if(rev || i <= j)                        {                              if(inv || i <= 1 - j)                            {                                  ans = ans + dfs(l + 1, r - 1, rev || i < j , inv || i < 1 - j);                              }                          }                      }                  }              }          }      }    return ans; }int main(){    memset(a,-1,sizeof(a));    cin>>n>>k;    k++;    a[0]=0;    if(dfs(0,n-1,0,0)<k){        return 0*puts("-1");    }    for(int i=1;i<n;i++)    {        a[i]=0;        memset(vis,0,sizeof(vis));        ll cur=dfs(0,n-1,0,0);        if(cur<k)        {            k -= cur;            a[i]=1;        }    }    for(int i=0;i<n;i++)    {        cout<<a[i];    }    return 0;}