poj 3421--求整数的质因子及其数量

题意：

给一个正整数X，求X的因子组成的链的最大长度m，和所有长度为m的链的个数

1 = X₀, X₁, X₂, …, X_m = X

X0固定是1。要求满足：

X(i+1)>X(i)，且X(i+1)能够整除X(i)。

X是2的20次方。。。。。！！！！？

举例：

如X =10，那么它的因子组成的链有：

1 10

1 2 10（分别为X0，X1，X2）（照题目意思长度为2而不是3。。。）

1 5 10

所以结果，最大长度为2，长度为2的链有2条。

如X=100，它有很多个因子，也有很多条链，比如：

1 100

1 50 100

1 2 20 100

1 5 50 100

1 2 4 20 100

等等。。。

不过！最大的长度为4，如果还不知道算法，不信的话可以枚举一下，没有超过4的链了。。

那么100的最大长度为4，长度为4的链有6条。

题解：

我们可以看到，从X1开始，每个数都必定能整除前面的所有的数。

所以我们可以想到质因子这个东西，即它既是质数，又是X的因子。

因为我们要求的是长度最长的链，就要找出所有的质因子和每个质因子对应的个数，然后从1开始每次乘以其中的一个质因子，最后就可以得到X，并且链是最长的。

那么数量是多少条呢？其实就是所有质因子的排列组合

从1开始乘以逐个乘以排好后的质因子，最后得出的链就是不同的，有多少种排列组合，就有多少条，，

也许我的表达能力有问题，如果还看不懂，我们拿X=100,来举个例子。

100有哪些质因子，这个简单。

质因子有2和5,100可以分解成2*2*5*5，即有2个2,2个5

那么2 2 5 5的排列组合是多少？高中知识！不要问为什么

A(4，4)/A(2，2)/A(2，2)，即4!/(2!*2!)，即4的全排列除以（2的个数的全排列和5的个数的全排列）

结果为6：

2 2 5 5

2 5 2 5

2 5 5 2

5 2 2 5

5 2 5 2

5 5 2 2

分别对应的链呢？！

1 2 4 20 100

1 2 10 20 100

1 2 10 50 100

1 5 10 20 100

1 5 10 50 100

1 5 25 50 100

是不是！！这就出来了，就是这么做的。

代码出处：http://www.hankcs.com/program/cpp/poj-3421-x-factor-chains.html

代码如下：（是看完别人的代码后，看懂后，复制过来的~，不过思路是自己写的~）

#include<vector>#include<map>#include<iostream>#include<numeric> using namespace std;typedef unsigned long long ULL;//约数枚举，找出所有n的约数，包括1和它自己 vector<int> divisor(int n){vector<int> res;for(int i=1;i*i<=n;i++){if(n%i==0){res.push_back(i);if(i!=n/i){res.push_back(n/i);}}}return res;}//整数分解，将整数n分解成若干素数的积 //素数->素数的个数 map<int,int> prime_factor(int n){map<int,int> res;for(int i=2;i*i<=n;i++){while(n%i==0){res[i]++;n/=i;}}if(n!=1){res[n] = 1;}return res;}//只求整数分解后质因数出现的次数（幂） vector<int> prime_factor_time(int n){vector<int> res;for(int i=2;i*i<=n;i++){int time = 0;while(n%i==0){time++;n/=i;}res.push_back(time);}if(n!=1){res.push_back(1);}return res;}//求阶乘，此题求解因子的个数的阶乘 ULL factor(int n){ULL res = 1;for(int i=1;i<=n;i++){res*=i;}return res;}//只用到后两个函数 int main(){int X;while(cin>>X){vector<int> f = prime_factor_time(X);int length = accumulate(f.begin(),f.end(),0);//幂之和是长度ULL number = factor(length);//素数个数的和的阶乘for(vector<int>:: const_iterator it = f.begin();it!=f.end();it++){//除以 每个素数的个数的阶乘 number/=factor(*it);} cout<<length<<' '<<number<<endl; }}