次优查找树的实现【严蔚敏】

来源：互联网发布：虚拟骑行软件编辑：程序博客网时间：2024/05/20 13:08

考虑查找成功时的情况：查找性能最佳的判别树是带权路径之和PH的值。

最优查找树：

用数学公式来表示就是：使得 $PH = \sum_{i=1}^{n}{\omega_{i}h_{i}}$ 的PH值最小的树为该数组的静态最优查找树。其中i为节点标号， $\omega _{i}$ 为节点i的带权路径长度， $\omega _{i} = c _{i} * p _{i}$ ，它等于结点i的查找路径长度c，乘以该结点被查找的概率p；h表示节点i在搜索树中的高度。通俗点来说，就是权值越大的结点，越放到靠近根结点的位置。可能查找概率大，需要的比较次数（折半查找中的次数）多，或者两者皆有。

次优二叉树：

选出一个结点，使得它左右两侧的子数组的权值累加和之差的绝对值最小。把这个结点当做根节点，递归地用刚才的左右字数组构造它的左右子树。
数学表达式： $\Delta P_{i} = |\sum_{j=i+1}^{h}{\omega _{j}} - \sum_{j=l}^{i-1}{\omega _{j}}|$ 。

Status SecondOptimal(BiTree &T, ElemType R[],int sw[],int low,int high) { // 由有序表R[low..high]及其累计权值表sw(其中sw[0]==0)递归构造   // 次优查找树T。算法9.3   int i,j;   double min,dw;   i=low;   min=fabs(sw[high]-sw[low]);   dw=sw[high]+sw[low-1];   for(j=low+1;j<=high;++j) // 选择最小的△Pi值      if(fabs(dw-sw[j]-sw[j-1])<min)      {       i=j;       min=fabs(dw-sw[j]-sw[j-1]);     }   if(!(T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode))))     return ERROR;             T->data=R[i]; // 生成结点   if(i==low)        T->lchild=NULL; // 左子树空   else        SecondOptimal(T->lchild,R,sw,low,i-1); // 构造左子树   if(i==high)        T->rchild=NULL; // 右子树空   else        SecondOptimal(T->rchild,R,sw,i+1,high); // 构造右子树   return OK; }

void FindSW(int sw[],SSTable ST) { // 按照有序表ST中各数据元素的Weight域求累计权值表sw   int i;   sw[0]=0;   for(i=1;i<=ST.length;i++)     sw[i]=sw[i-1]+ST.elem[i].weight; }

Status CreateSOSTree(SOSTree &T,SSTable ST) { // 由有序表ST构造一棵次优查找树T。ST的数据元素含有权域weight。算法9.4   if(ST.length==0)     T=NULL;   else   {     FindSW(sw,ST); // 按照有序表ST中各数据元素的Weight域求累计权值表sw     SecondOptimal(T,ST.elem,sw,1,ST.length);   }   return OK; }

代码完整实现：

 // algo9-3.cpp 静态查找表(静态树表)的操作 #include <stdio.h> #include <malloc.h> #include <math.h> #include<iostream>             //cout,cinusing namespace std;  // 函数结果状态代码 #define TRUE 1 #define FALSE 0 #define OK 1 #define ERROR 0 #define INFEASIBLE -1 // #define OVERFLOW -2 因为在math.h中已定义OVERFLOW的值为3,故去掉此行 typedef int Status; // Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 typedef int Boolean; // Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE #define N 9 // 数据元素个数 #define EQ(a,b) ((a)==(b)) #define LT(a,b) ((a)<(b)) #define LQ(a,b) ((a)<=(b)) typedef char KeyType; // 设关键字域为字符型 struct ElemType // 数据元素类型(以教科书例9-1为例) {   KeyType key;   int weight; }r[N]={{'A',1},{'B',1},{'C',2},{'D',5},{'E',3},       {'F',4},{'G',4},{'H',3},{'I',5}}; // 全局变量 int sw[N+1]; // 累计权值，全局变量 typedef ElemType TElemType;  typedef struct {   ElemType *elem; // 数据元素存储空间基址，建表时按实际长度分配，0号单元留空   int length; // 表长度 }SSTable;  //  静态查找表(顺序表和有序表)的基本操作(7个) Status Creat_Seq(SSTable &ST,int n) { // 操作结果: 构造一个含n个数据元素的静态顺序查找表ST(数据来自全局数组r)   int i;   ST.elem=(ElemType*)calloc(n+1,sizeof(ElemType)); // 动态生成n个数据元素空间(0号单元不用)   if(!ST.elem)     return ERROR;   for(i=1;i<=n;i++)     *(ST.elem+i)=r[i-1]; // 将全局数组r的值依次赋给ST   ST.length=n;   return OK; } void Ascend(SSTable &ST) { // 重建静态查找表为按关键字非降序排序   int i,j,k;   for(i=1;i<ST.length;i++)   {     k=i;     ST.elem[0]=ST.elem[i]; // 待比较值存[0]单元     for(j=i+1;j<=ST.length;j++)       if LT(ST.elem[j].key,ST.elem[0].key)       {         k=j;         ST.elem[0]=ST.elem[j];       }     if(k!=i) // 有更小的值则交换     {       ST.elem[k]=ST.elem[i];       ST.elem[i]=ST.elem[0];     }   } } Status Creat_Ord(SSTable &ST,int n) { // 操作结果: 构造一个含n个数据元素的静态按关键字非降序查找表ST   // 数据来自全局数组r   Status f;   f=Creat_Seq(ST,n);   if(f)     Ascend(ST);   return f; }  Status Destroy(SSTable &ST) { // 初始条件: 静态查找表ST存在。操作结果: 销毁表ST   free(ST.elem);   ST.elem=NULL;   ST.length=0;   return OK; } int Search_Seq(SSTable ST,KeyType key) { // 在顺序表ST中顺序查找其关键字等于key的数据元素。若找到，则函数值为   // 该元素在表中的位置，否则为0。算法9.1   int i;   ST.elem[0].key=key; // 哨兵   for(i=ST.length;!EQ(ST.elem[i].key,key);--i); // 从后往前找   return i; // 找不到时，i为0 } int Search_Bin(SSTable ST,KeyType key) { // 在有序表ST中折半查找其关键字等于key的数据元素。若找到，则函数值为   // 该元素在表中的位置，否则为0。算法9.2   int low,high,mid;   low=1; // 置区间初值   high=ST.length;   while(low<=high)   {     mid=(low+high)/2;     if EQ(key,ST.elem[mid].key)  // 找到待查元素       return mid;     else if LT(key,ST.elem[mid].key)       high=mid-1; // 继续在前半区间进行查找     else       low=mid+1; // 继续在后半区间进行查找   }   return 0; // 顺序表中不存在待查元素 } Status Traverse(SSTable ST,void(*Visit)(ElemType)) {      // 初始条件: 静态查找表ST存在，Visit()是对元素操作的应用函数        // 操作结果: 按顺序对ST的每个元素调用函数Visit()一次且仅一次。       // 一旦Visit()失败，则操作失败   ElemType *p;   int i;   p=++ST.elem; // p指向第一个元素   for(i=1;i<=ST.length;i++)     Visit(*p++);   return OK; }  typedef struct BiTNode {   TElemType data;   BiTNode *lchild,*rchild; // 左右孩子指针 }BiTNode,*BiTree; Status SecondOptimal(BiTree &T, ElemType R[],int sw[],int low,int high) { // 由有序表R[low..high]及其累计权值表sw(其中sw[0]==0)递归构造   // 次优查找树T。算法9.3   int i,j;   double min,dw;   i=low;   min=fabs(sw[high]-sw[low]);   dw=sw[high]+sw[low-1];   for(j=low+1;j<=high;++j) // 选择最小的△Pi值      if(fabs(dw-sw[j]-sw[j-1])<min)      {       i=j;       min=fabs(dw-sw[j]-sw[j-1]);     }   if(!(T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode))))     return ERROR;             T->data=R[i]; // 生成结点   if(i==low)        T->lchild=NULL; // 左子树空   else        SecondOptimal(T->lchild,R,sw,low,i-1); // 构造左子树   if(i==high)        T->rchild=NULL; // 右子树空   else        SecondOptimal(T->rchild,R,sw,i+1,high); // 构造右子树   return OK; } void FindSW(int sw[],SSTable ST) { // 按照有序表ST中各数据元素的Weight域求累计权值表sw   int i;   sw[0]=0;   for(i=1;i<=ST.length;i++)     sw[i]=sw[i-1]+ST.elem[i].weight; } typedef BiTree SOSTree; // 次优查找树采用二叉链表的存储结构 Status CreateSOSTree(SOSTree &T,SSTable ST) { // 由有序表ST构造一棵次优查找树T。ST的数据元素含有权域weight。算法9.4   if(ST.length==0)     T=NULL;   else   {     FindSW(sw,ST); // 按照有序表ST中各数据元素的Weight域求累计权值表sw     SecondOptimal(T,ST.elem,sw,1,ST.length);   }   return OK; } Status Search_SOSTree(SOSTree &T,KeyType key) { // 在次优查找树T中查找关键字等于key的元素。找到则返回OK，否则返回FALSE   while(T) // T非空     if(T->data.key==key)       return OK;     else if(T->data.key>key)       T=T->lchild;     else       T=T->rchild;   return FALSE; // 顺序表中不存在待查元素 } void print(ElemType c) // Traverse()调用的函数 {   printf("(%c %d) ",c.key,c.weight); } int main() {   SSTable st;   SOSTree t;   Status i;   KeyType s;   Creat_Ord(st,N); // 由全局数组产生非降序静态查找表st   Traverse(st,print);   CreateSOSTree(t,st); // 由有序表构造一棵次优查找树   printf("\n请输入待查找的字符: ");   scanf("%c",&s);   i=Search_SOSTree(t,s);   if(i)     printf("%c的权值是%d\n",s,t->data.weight);   else     printf("表中不存在此字符\n"); }

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