【APIO2010T1】特别行动队-DP斜率优化

来源：互联网发布：淘宝怎么贷款最高额度编辑：程序博客网时间：2024/05/21 15:38

测试地址：特别行动队

做法：这题需要用到DP斜率优化。

设f[i]为拆分前i个士兵可获得的最大战斗力，sum[i]为前i个士兵的初始战斗力之和，很容易得到O(N^2)的方程：

f[i]=max{f[j]+a(sum[i]-sum[j])^2+b(sum[i]-sum[j])+c}(0≤j<i)

然而N可达1000000，我们需要考虑优化。

我们把max内部的式子展开得：f[j]+a*sum[i]^2-2*a*sum[i]*sum[j]+a*sum[j]^2+b*sum[i]-b*sum[j]+c，把a*sum[i]^2+b*sum[i]+c这些无关项从max中取出来，则剩下的式子G=-2*a*sum[i]*sum[j]+f[j]+a*sum[j]^2-b*sum[j]，令k=2*a*sum[i]，x=sum[j]，y=f[j]+a*sum[j]^2-b*sum[j]，则G=-kx+y，所以y=kx+G。要求G的最大值，就是求一条斜率为k的直线与前面状态点上凸壳的切点。由于sum单调递增，a是负数，所以x单调递增，k单调递减，所以可以用单调队列维护上凸壳，复杂度优化到O(N)，完美解决该问题。

以下是本人代码：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int n,h,t,q[1000010];long long a,b,c,sum[1000010],f[1000010];struct point{  long long x,y;  point operator - (point a) const  {    point s;s.x=x-a.x;s.y=y-a.y;return s;  }}p[1000010];long long multi(point a,point b){  return a.x*b.y-b.x*a.y;}void solve(){  h=1,t=1;  q[1]=0;p[0].x=p[0].y=0;  for(int i=1;i<=n;i++)  {    point now;now.x=1,now.y=2*a*sum[i];    while(h<t&&multi(now,p[q[h+1]]-p[q[h]])>=0) h++;int j=q[h];f[i]=f[j]+a*(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+b*(sum[i]-sum[j])+c;p[i].x=sum[i],p[i].y=f[i]+a*sum[i]*sum[i]-b*sum[i];while(h<t&&multi(p[i]-p[q[t-1]],p[q[t]]-p[q[t-1]])<=0) t--;q[++t]=i;  }}int main(){  scanf("%d",&n);  scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);  sum[0]=0;  for(int i=1;i<=n;i++)  {    long long a;scanf("%lld",&a);sum[i]=sum[i-1]+a;  }    solve();  printf("%lld",f[n]);    return 0;}

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