动态规划4：LIS最长递增子序列问题

题目：这是一个经典的LIS(即最长上升子序列)问题，请设计一个尽量优的解法求出序列的最长上升子序列的长度。给定一个序列A及它的长度n(长度小于等于500)，请返回LIS的长度。

测试样例：[1,4,2,5,3],5返回：3

思路：所谓LIS问题即LongestIncresingSeuenceL最长递增子序列，注意子序列并不要求连续，即子序列不等于连续子序列。首先要理解什么是最长递增子序列以及如何求最长递增子序列，例如对于序列1,4,2,5,3,8,6,9。里面的递增子序列有很多，1,4是递增子序列，1,4,5,8,9是递增子序列，4,5,8,9是递增子序列，4,5,6,9是递增子序列。那么何为最长递增子序列呢？首先，对于1,4这种显然不是最长递增子序列，只有当后面不再有更大的元素时的序列才叫作最长子序列，因此对于最长子序列，前面不应该有更小的元素，后面不应该有更大的元素。我们对序列从局部到整体进行考虑，先考虑前面部分的序列，例如1,4,2,5然后考虑把3加上去后会最长递增子序列会发生怎样的变化，3加上后与前面比3更小的元素2构成了子序列，即对于以2为终点的序列，加上3后使得序列右增加了1，且此时序列的终点变成了3。于是思路是：从前向后求出以index为终点的序列的最长递增子序列长度：

Index=0时maxLength=1;   【1】

Index=1时maxLength=2；  【1,4】

Index=2时maxLength=2；  【1,2】

Index=3时maxLength=3；  【1,4,5】【1,2,5】

Index=4时maxLength=3；  【1,2,3】

Index=5时maxLength=4；  【1,4,5,8】【1,2,5,8】【1,2,3,8】

Index=6时maxLength=4；  【1,4,5,6】【1,2,5,6】【1,2,3,6】

Index=7时maxLength=5；  【1,4,5,8,9】【1,2,5,8,9】【1,2,3,8,9】【1,4,5,6,9】【1,2,5,6,9】【1,2,3,6,9】

对于index，在求它的最长递增子序列时是先将arr[index]与之前的元素进行逐一比较，找出小于arr[index]的元素中maxLength最长的值，于是对于元素index，以它为终点的最长递增子序列长度就是在maxLength上+1，并将此结果保存在一个数组dp[index]中以便后面复用。

即从index=0开始逐一计算以arr[index]为最长递增序列终点的最长递增子序列长度，将其保存在dp[index]中，在计算后面任意一个index为终点的最长递增序列长度时，遍历前面的所有元素的maxLength，找出元素arr[i]<arr[index]的元素中的最大的maxLength值，将arr[index]加在这个序列上构成以arr[index]为终点的最长递增子序列，以此类推，当index到达结尾时所有子序列长度遍历结束，扫描整个数组dp[]里面的最大值就是最大递增子序列的长度（最后一个元素index并不一定是最长子序列的终点元素，即可能最长递增子序列 在一个序列的中间位置）

动态规划：

①创建动态规划数组保留每个计算结果，这里只需要一维数组dp[n];

②先计算dp[]中第一个位置的值，即dp[0]，即以arr[0]为终点的最长递增子序列的最大子序列长度是1；

③从前往后计算dp[]中的每一个位置的值；注意递推关系的使用；

④扫描dp[]，里面的最大值就是所求结果；

 

import java.util.*;//最长递增子序列问题：动态规划public class LongestIncreasingSubsequence {    public int getLIS(int[] A, int n) {        //特殊输入        if(A==null||A.length<=0) return 0;        //①创建动态规划数组dp[]来存放计算结果        int[] dp=new int[n];        //②计算第1个结果dp[0]        dp[0]=1;        //③从后往前计算每一个结果        for(int i=1;i<n;i++){            int maxLength=0;            for(int j=0;j<i;j++){                if(A[j]<A[i]){                    maxLength=Math.max(dp[j],maxLength);                }            }            //如果没有A[j]<A[i]说明没有比A[i]更小的值，于是它自己组成序列，长度应该为1;            dp[i]=maxLength+1;        }        //④返回结果：dp[]中的最大值        int res=0;        for(int i=0;i<n;i++){            res=Math.max(dp[i],res);        }        return res;    }}