动态规划-最长递增序列(LIS)【模板】

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问题描述：

给出一个数列，找出其中最长的单调递减（或递增）子序列。

例如，{10，22，9，33，21，50，41，60，80} 

 LIS的长度是6和 LIS为{10，22，33，50，60，80}。

最优子结构：

对于长度为N的数组A[N] = {a0, a1, a2, …, an-1}，假设假设我们想求以aj结尾的最大递增子序列长度，设为L[j]，那么L[j] = max(L[i]) + 1, where i < j && a[i] < a[j], 也就是i的范围是0到j – 1。这样，想求aj结尾的最大递增子序列的长度，我们就需要遍历j之前的所有位置i（0到j-1），找出a[i] < a[j]，计算这些i中，能产生最大L[i]的i，之后就可以求出L[j]。之后我对每一个A[N]中的元素都计算以他们各自结尾的最大递增子序列的长度，这些长度的最大值，就是我们要求的问题——数组A的最大递增子序列。

重叠子问题：

通过递归实现LIS

下边是递归树

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1.       
2.                      lis(4)             
3.                  /       |      \  
4.          lis(3)      lis(2)    lis(1)    
5.         /     \        /           
6.   lis(2)  lis(1)   lis(1)   
7.   /      
8. lis(1)  

有些重复的子问题被多次计算。所以我们可以使用memoization (记忆化存储)的或打表来避免同一子问题的重新计算。以下是打表方式实现的LIS，时间复杂度为O(n^2)。

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1. int list(int arr[],int n)  
2. {  
3.     int i,j,max;  
4.     max = 0;  
5.     for(i=1;i<=n;i++)  
6.         lis[i] = 1;  
7.       
8.     for(i=2;i<=n;i++)  
9.     {  
10.         for(j=1;j<i;j++)  
11.         {  
12.             if(arr[i]>arr[j] && lis[i]<lis[j]+1)  
13.                 lis[i] = lis[j] + 1;  
14.         }  
15.     }  
16.       
17.     for(i=1;i<=n;i++)  
18.         if(max < lis[i])  
19.             max = lis[i];  
20.       
21.     return max;  
22. }   

 

 

最长上升子序列nlogn算法

 

对于数组c的查找可使用二分查找，降低了整体的算法复杂度。时间复杂度为O(nlogn)。

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

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1. int stack[10010];  
2. int lis(int arr[],int n)  
3. {  
4.     int i,top,mid,low,high;  
5.     top = 0;  
6.     stack[0] = -1;  
7.     for(i=0;i<n;i++)  
8.     {  
9.         if(arr[i]>stack[top])  
10.             stack[++top] = arr[i];  
11.         else  
12.         {  
13.             low = 1;  
14.             high = top;  
15.             while(low <= high)  
16.             {  
17.                 mid = (low + high)/2;  
18.                 if(arr[i] > stack[mid])  
19.                     low = mid + 1;  
20.                 else  
21.                     high = mid - 1;  
22.             }  
23.             stack[low] = arr[i];  
24.         }  
25.     }  
26.     return top;  
27. }