算法课第10周第2题——53. Maximum Subarray

题目描述：

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

程序代码：

class Solution {public:int maxSubArray(vector<int>& nums) {int n = nums.size();// f[i] 表示 以nums[i]为结尾的连续几个数的最大和vector<int> f(n, 0);f[0] = nums[0];// res为最后输出结果int res = nums[0];for (int i = 1; i < n; i++) {// 注意每次计算后f[i]的值不一定 >= 0// 若f[i-1] < 0， 则应从nums[i]开始重新计数（否则会拖nums[i]的后腿）if (f[i - 1] < 0) {f[i] = nums[i];}// 若f[i-1] >= 0， 则把f[i]加上，继续计数else {f[i] = f[i - 1] + nums[i];}// 取之前的res或f[i]中的最大值为新的resres = max(res, f[i]);}return res;}};

简要题解：

本题是一道动态规划的问题。

先理清题意。本题给定的输入是一个数组，需要找出一个连续的子数组，使这个子数组有最大的和。

一开始，我打算用f[i]表示“前i个数中可以包含的子数组的最大的和”，但经过分析我发现，这样几乎无法用f[i-1]来表示出f[i]，因此这个做法是不太合适的。

经过进一步的思考，我发现可以用f[i]表示“以nums[i]为结尾的连续几个数的最大和", 并用一个值res表示最后的结果值。开始时，f[0]和res都初始化为nums[0]. 假设此时我们已经得到了f[i -1]的值，现在需要用f[i-1]的值推出f[i]. 因为f[i]是“以nums[i]为结尾的连续几个数的最大和”， 所以必须用到nums[i]来计算f[i]. 接着可以做如下分析：

①当f[i - 1] >=0, 只需要令f[i] = f[i-1] + nums[i] 即可；

②当f[i - 1] <0, 此时f[i - 1]反而拖了nums[i]的后腿，比起这两个值相加，还不如直接从nums[i]重头开始取子数组。因此，此时抛弃前面的f[i - 1]， 直接取f[i] = nums[i].

③这样通过枚举i = 1~n-1， 就可以不断计算出各个f[i]的值。但要注意，每次f[i]的值并不是我们真正需要的答案“最大的子数组的和”，而是限定了以nums[i]为结尾。因此，每次计算出f[i], 我们都要将此时的res值和f[i]值作比较，取较大的一个值赋为新的res，这样就保证了res的值始终为“前i个数中可以包含的子数组的最大的和”.

最后，res值就是我们的输出结果。

本题作为一道动态规划，关键是要想到f[i - 1] >= 0 或f[i- 1] < 0这个判断条件，并以此用f[i-1]推出f[i]而得到转移方程；此外，还要想到，除了计算f[i]这个值以外，还要不断更新一个res值，并最终用res值作为结果，而不是简单地用f[n-1]作为最后的结果。