KMP算法next & nextval探讨

摘要：本文在阅读清华大学教授严蔚敏《数据结构》一书的基础上，同时参照互联网上已有KMP相关文章的前提下，对KMP匹配过程中next与nextval数组的计算，做了图形化探讨。并一句话概括计算原则——计算next[j]函数值，必从j-1位置开始（不是j），以j-1为节点号，next[j-1]为链表尾指针，一直往前查找，直到找到与arr[j-1]值相同的位置时（k）停止，则此时next[j]=next[k]+1。（注：将上述表格抽象为链表，从后往前的链表）。

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目录：

何为KMP算法——模式匹配的一种改进算法

这种算法是D.E.Knuth与V.R.Pratt和J.H.Morris同时发现的，因此人们称它为克努特—莫里斯—普拉特算法（简称为KMP算法）。此算法可以在O(m+n)的时间数量级上完成串的模式匹配操作。

其改进在于：每当一趟匹配过程中出现字符比较不等时，不需要回溯 i 指针，而是利用已经得到的“部分匹配”的结果将模式向右“滑动”尽可能远的距离后，继续进行比较。

next函数值计算

模式串的next函数定义：

由此定义可推出下列模式串的next函数值：

计算next总原则（非常重要）：

计算next[j]函数值，必从j-1位置开始（不是j），以j-1为节点号，next[j-1]为链表尾指针，一直往前查找，直到找到与arr[j-1]值相同的位置时（k）停止，则此时next[j]=next[k]+1。（注：将上述表格抽象为链表，从后往前的链表）

• 务必准确把握——j、模式串、next[j]的不同含义，不要搞混了。

几大注意事项：

1. next[0]一般不使用，直接将next[1]=0，next[2]=1，j从1开始，j和next[j]有一一对应关系；（注：如果非要使用next[0]的话，则置next[1]=-1，next[2]=0）

2. 一个特殊状态，如果按照上述总原则，无法找到与arr[j-1]值相同的位置。则一律置next[j]=1。

为了形式化，首先，将上述表格转化为双亲表示法树状结构如下：

示例next[5]，求法；

1.表格求解法如下：

2.双亲节点表示法，求解过程如下：

示例next[3]，求法；

以下留下几个表格，供手动模拟练习一下计算过程：

nextval函数值计算

前面定义的next函数在某些情况下尚有缺陷（进行了某些不必要的匹配，如下图）。为了解决该问题引入了nextval对next进行修正。

接下来继续使用上述，问题为材料对next进行修正：

在计算出next之后，得出nextval十分之简单，用以下代码表示更直接：

if (arr[j]==arr[next[j]]){    next[j] = next[next[j]];}

就是判断arr[j]与其next[j]所对应的arr[next[j]]是否相同，相同则修正，否则不需要修正。

附next/nextval测试：

#include <stdio.h>  int next[9];  //不修正  int getNextj(char arr[], int j){      int k = j-1;      while (k > 0){          //③比较arr[j-1]是否等于arr[next[j-1]]          if (arr[j-1]==arr[next[k]]){              return next[k]+1;          }          //④不等于，继续找下去          k = next[k];      }      //⑤未找到，恒置1      return 1;  }  //修正  void getNextVal(char arr[]){      int j;      for (j = 1; j < 9; ++j){          //⑥修正，如果arr[j]==arr[next[j]]则修正          if (arr[j]==arr[next[j]]){              next[j] = next[next[j]];          }      }  }  int main(void){      char arr[] = " abaabcac";//前面有一空格，T[]从1开始      int j;      //①初始化      next[1] = 0;      next[2] = 1;      //②逐个求next      for ( j = 3; j <= 8; ++j ){          next[j] = getNextj(arr,j);      }      //打印      printf("----next---\n");      for ( j = 1; j <= 8 ;++j){          printf("%d ",next[j]);      }      //修正      getNextVal(arr);      printf("\n----nextval---\n");      for ( j = 1; j <= 8 ;++j){          printf("%d ",next[j]);      }      printf("\n");      return 0;  }  

—-next—
0 1 1 2 2 3 1 2
—-nextval—
0 1 0 2 1 3 0 2
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