hihocoder 1378 : 网络流二·最大流最小割定理

描述

小Hi：在上一周的Hiho一下中我们初步讲解了网络流的概念以及常规解法，小Ho你还记得内容么？

小Ho：我记得！网络流就是给定了一张图G=(V,E)，以及源点s和汇点t。每一条边e(u,v)具有容量c(u,v)。网络流的最大流问题求解的就是从s到t最多能有多少流量。

小Hi：那这个问题解决办法呢？

小Ho：解决网络流的基本思路就是寻找增广路，不断更新残留网络。直到找不到新的增广路，此时得到的流就是该网络的最大流。

小Hi：没错，看来你记得很牢嘛。

小Ho：哎嘿嘿，不过这里我有一个问题，为什么找不到增广路时就已经找到了最大流呢？

小Hi：这一次我就来解决你的疑惑，首先我们要从网络流的割开始讲起。

对于一个网络流图G=(V,E)，其割的定义为一种点的划分方式：将所有的点划分为S和T=V-S两个部分，其中源点s∈S，汇点t∈T。

对于一个割(S,T)，我们定义净流f(S,T)表示穿过割(S,T)的流量之和，即：

f(S,T) = Σf(u,v) | u∈S,v∈T

举个例子(该例子选自算法导论)：

净流f = f(2,4)+f(3,4)+f(3,5) = 12+(-4)+11 = 19

同时我们定义割的容量C(S,T)为所有从S到T的边容量之和，即：

C(S,T) = Σc(u,v) | u∈S,v∈T

同样在上面的例子中，其割的容量为：

c(2,4)+c(3,5)=12+14=26

小Ho：也就是说在计算割(S,T)的净流f(S,T)时可能存在反向的流使得f(u,v)<0，而容量C(S,T)一定是非负数。

小Hi：你这么说也没错。实际上对于任意一个割的净流f(S,T)总是和网络流的流量f相等。比如上面例子中我们改变一下割的方式：

可以计算出对于这两种情况净流f(S,T)仍然等于19。

一个直观的解释是：根据网络流的定义，只有源点s会产生流量，汇点t会接收流量。因此任意非s和t的点u，其净流量一定为0，也即是Σ(f(u,v))=0。而源点s的流量最终都会通过割(S,T)的边到达汇点t，所以网络流的流f等于割的静流f(S,T)。

严格的证明如下：

f(S,T) = f(S,V) - f(S,S)从S到T的流等于从S到所有节点的流减去从S到S内部节点的流f(S,T) = f(S,V)由于S内部的节点之间存在的流一定有对应的反向流，因此f(S,S)=0f(S,T) = f(s,V) + f(S-s,V)再将S集合分成源点s和其他属于S的节点f(S,T) = f(s,V)由于除了源点s以外其他节点不会产生流，因此f(S-s,V)=0f(S,T) = f(s,V) = f

所以f(S,T)等于从源点s出来的流，也就是网络的流f。

小Ho：简单理解的话，也就是说任意一个割的净流f(S,T)都等于当前网络的流量f。

小Hi：是这样的。而对于任意一个割的净流f(S,T)一定是小于等于割的容量C(S,T)。那也即是，对于网络的任意一个流f一定是小于等于任意一个割的容量C(S,T)。

而在所有可能的割中，存在一个容量最小的割，我们称其为最小割。

这个最小割限制了一个网络的流f上界，所以有：

对于任一个网络流图来说，其最大流一定是小于等于最小割的。

小Ho：但是这和增广路又有什么关系呢？

小Hi：接下来就是重点了。利用上面讲的知识，我们可以推出一个最大流最小割定理：

对于一个网络流图G=(V,E)，其中有源点s和汇点t，那么下面三个条件是等价的：1. 流f是图G的最大流2. 残留网络Gf不存在增广路3. 对于G的某一个割(S,T)，此时f = C(S,T)

首先证明1 => 2：

我们利用反证法，假设流f是图G的最大流，但是残留网络中还存在有增广路p，其流量为fp。则我们有流f'=f+fp>f。这与f是最大流产生矛盾。

接着证明2 => 3：

假设残留网络Gf不存在增广路，所以在残留网络Gf中不存在路径从s到达t。我们定义S集合为：当前残留网络中s能够到达的点。同时定义T=V-S。此时(S,T)构成一个割(S,T)。且对于任意的u∈S,v∈T，有f(u,v)=c(u,v)。若f(u,v)<c(u,v)，则有Gf(u,v)>0，s可以到达v，与v属于T矛盾。因此有f(S,T)=Σf(u,v)=Σc(u,v)=C(S,T)。

最后证明3 => 1：

由于f的上界为最小割，当f到达割的容量时，显然就已经到达最大值，因此f为最大流。

这样就说明了为什么找不到增广路时，所求得的一定是最大流。

小Ho：原来是这样，我明白了。

输入

第1行：2个正整数N,M。2≤N≤500，1≤M≤20,000。

第2..M+1行：每行3个整数u,v,c(u,v)，表示一条边(u,v)及其容量c(u,v)。1≤u,v≤N，0≤c(u,v)≤100。

给定的图中默认源点为1，汇点为N。可能有重复的边。

输出

第1行：2个整数A B，A表示最小割的容量，B表示给定图G最小割S集合的点数。

第2行：B个空格隔开的整数，表示S集合的点编号。

若存在多个最小割可以输出任意一个的解。

样例输入

6 71 2 31 3 52 4 13 4 23 5 34 6 45 6 2

样例输出

5 41 2 3 5

思路：要求最大流和最小割的集合，最大流可以使用查找增广路的办法查找，最后的最小割可以在最后查找一次增光路记最小割的集合，具体看代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#include <climits>#include <vector>#include <queue>#include <cstdlib>#include <string>#include <set>#include <stack>using namespace std;const int max_n  = 505;const int inf = 0xfffffff;int gra[max_n][max_n];vector<int>v[max_n];int level[max_n];int n,m;vector<int>mp;int flag;bool bfs() {    queue<int>q;    memset(level,0,sizeof(level));    q.push(1);    level[1] = 1;    if(flag) {        mp.push_back(1);    }    while(!q.empty()) {        int p = q.front();        q.pop();        if(p == n) {            return true;        }        for(int i = 0; i < v[p].size(); i++) {            int st = v[p][i];            if(!level[st]&&gra[p][st]) {                level[st] = level[p]+1;                q.push(st);                if(flag) {                    mp.push_back(st);                }            }        }    }    return false;}int dfs(int x,int sup) {    if(x == n) {        return sup;    }    int ret = 0;    for(int i = 0; i < v[x].size(); i++) {        int st = v[x][i];        if(level[st] == level[x]+1 && gra[x][st]) {            int mi = min(sup-ret,gra[x][st]);            int mx = dfs(st,mi);            gra[x][st] -= mx;            gra[st][x] += mx;            ret += mx;            if(ret == sup) {//这里的返回是说当前的点所能流过的最大流，和后面所有能流过的总和相等是，便不可能再允许后面的流量流过                return ret;            }        }    }    return ret;}int max_flow() {    int ans = 0;    while(bfs()) {        ans += dfs(1,inf);    }    return ans;}int main() {    scanf("%d%d",&n,&m);    memset(gra,0,sizeof(gra));    int a,b,c;    for(int i = 0; i < m; i++) {        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);        v[a].push_back(b);        gra[a][b] += c;    }    int ans = max_flow();    printf("%d ",ans);    mp.clear();    flag = 1;    bfs();    printf("%d\n",mp.size());    printf("%d",mp[0]);    for(int i = 1;i < mp.size();++i){        printf(" %d",mp[i]);    }    printf("\n");    return 0;}

总结：自己对最大流的理解还是很欠缺。。。。。。继续加油