中国剩余定理（互质与不互质的情况）

前言：这个东西听说好久了，一直想学但是总是看到一半就放弃了，今天咬咬牙，就去研究一下吧。

中国剩余定理：

问题引入

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。具体解法分三步：

1. 找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
2. 用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。
3. 用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的，有什么基本的数学依据吗？

我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题，从零开始，试图揣测古人是如何推导出这个解法的。

具体推导

首先，我们假设n1是满足除以3余2的一个数，比如2，5，8等等，也就是满足3*k+2（k>=0）的一个任意数。同样，我们假设n2是满足除以5余3的一个数，n3是满足除以7余2的一个数。

有了前面的假设，我们先从n1这个角度出发，已知n1满足除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2？进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2？

这就牵涉到一个最基本数学定理，如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。这个是很好证明的。

以此定理为依据，如果n2是3的倍数，n1+n2就依然满足除以3余2。同理，如果n3也是3的倍数，那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的，再从n2，n3的角度出发，我们可推导出以下三点：

1. 为使n1+n2+n3的和满足除以3余2，n2和n3必须是3的倍数。
2. 为使n1+n2+n3的和满足除以5余3，n1和n3必须是5的倍数。
3. 为使n1+n2+n3的和满足除以7余2，n1和n2必须是7的倍数。

因此，为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解，需满足：

1. n1除以3余2，且是5和7的公倍数。
2. n2除以5余3，且是3和7的公倍数。
3. n3除以7余2，且是3和5的公倍数。

所以，孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3，再将三个数相加得到解。在求n1，n2，n3时又用了一个小技巧，以n1为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，而是先找一个除以3余1的数，再乘以2。

这里又有一个数学公式，如果a%b=c，那么（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是说，如果一个除法的余数为c，那么被除数的k倍与除数相除的余数为kc。展开式中已证明。

最后，我们还要清楚一点，n1+n2+n3只是问题的一个解，并不是最小的解。如何得到最小解？我们只需要从中最大限度的减掉掉3，5，7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最终的最小解。

总结

经过分析发现，中国剩余定理的孙子解法并没有什么高深的技巧，就是以下两个基本数学定理的灵活运用：

1. 如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k为非零整数)。
2. 如果 a%b=c，那么 (a*k)%b=kc (k为大于零的整数)。

心得：又看了一会中国剩余定理，感觉明白了，其实就是一个转化的思想，想想问题如果很小你会怎么解决，再推倒到大的问题上去。好的贴一下，在mod互质的情况下的代码

代码：

//简单点说，中国剩余定理就是一种同余问题，如果实在理解不了，网上找道小学奥赛题模拟下。//mod互质的中国剩余定理#include <iostream>using namespace std;const int maxn=1000;int a[maxn],m[maxn];//a为余数数组，m是mod的数组int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){    if(b==0){            x=1,y=0;            return a;    }    int ans=exgcd(b,a%b,x,y);    int temp=x;    x=y;    y=temp-a/b*y;    return ans;}int china(int n){    int M=1;    int i,mi,x0,y0,d,ans=0;    for(i=0;i<n;i++)        M*=m[i];//m数组存的是模，这些数字两两互质，所以直接相乘得出来的数字便是最小公倍数    for(i=0;i<n;i++){        mi=M/m[i];//根据中国剩余定理的性质        exgcd(mi,m[i],x0,y0);//eg:33*28*a%23=1,因为互质，所以gcd==1，所以利用扩展欧几里得求出来的x0便是a        ans=(ans+mi*x0*a[i])%M;//根据同余的性质，最后的结果就是 余数*mod*mi的加和    }    if(ans<0) ans+=M;    return ans;}int main(){}

mod不互质的情况

题目很多是不互质的情况，我去网上搜到了一幅图，介绍不互质的情况下的中国剩余定理。

就是一个合并的过程，跟我之前看到的不太一样，算了整理下来吧

代码：

//有时候可能会用到lcm来求解多租借，因为你求出来的是最小解，所以你就可以通过不断加lcm求解多组解int lcm;int china2(int num){//不互质的中国剩余定理    int m1=m[0],a1=a[0],m2,a2,k1,k2,x0,gcd,c;    lcm=m[0];    for(int i=1;i<num;i++){        m2=m[i],a2=a[i];        c=a2-a1;        gcd=exgcd(m1,m2,k1,k2);//解得：n1*k1+n2*k2=gcd(n1,n2)        lcm=lcm*m[i]/Gcd(lcm,m[i]);//通过这个循环求解出所有mod的最大公约数        if(c%gcd){           flag=1;//!!!!!!china也可以求解出为0的值，所以为0不一定就是无解，所以你要通过flag来判断是否无解。           return 0;//无解        }        x0=c/gcd*k1;//n1*x0+n2*(c/gcd*k2)=c  PS:k1/gcd*c错误！        int t=m2/gcd;        x0=(x0%t+t)%t;//求n1*x0+n2*y=c的x0的最小解        a1+=m1*x0;        m1=m2/gcd*m1;    }    return a1;}