中国剩余定理

来源:互联网 发布:微艾薇h5建站 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 02:06

中国剩余定理(孙子定理)详解

问题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何

说明白一点就是说,存在一个数x,除以3余2,除以5余三,除以7余二,然后求这个数。

即:

x%3=2;

x%5=3;

x%7=2;

上面给出了解法。再明白这个解法的原理之前,需要先知道一下两个定理。

定理1:几个数相加,如果存在一个加数,不能被数a整除,那么它们的和,就不能被整数a整除。

定理2:两数不能整除,若除数扩大(或缩小)了几倍,而被除数不变,则其商和余数也同时扩大(或缩小)相同的倍数(余数必小于除数)。

这两个定理浅显易懂,自己找个例子就能理解,就不再赘述了。

此题分互质和不互质两种情况,我们先讨论互质的情况。

现给出求解该问题的具体步骤:

1、求出最小公倍数

 lcm=3*5*7=105

2求各个数所对应的基础数

(1)105÷3=35

 35÷3=11......2 //基础数35

(2)105÷5=21

 21÷5=4......1

 定理2把1扩大3倍得到3,那么被除数也扩大3倍,得到21*3=63//基础数63  

(3)105÷7=15

15÷7=2......1

定理2把1扩大2倍得到2,那么被除数也扩大2倍,得到15*2=30//基础数30

(注意:在扩大倍数的时候,要看后面的余数是否和题目给的余数相同,如(1)中35%3=2,此时余数为2,与题目给出的x%3=2;余数相同,所以(1)中的35并没有乘以任何数,(2)中的21÷5=4......1余数为1,是题目给的3的1/3,所以当余数1乘以3变得和题目一样时,根据定理2,被除数21也需要乘以三

把得到的基础数加和(注意:基础数不一定就是正数)

35+63+30=128

3、求与最小公倍数lcm的余数(在比最小公倍数大的情况下)

x=128%105=23

那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。下面详细解释每一步的原因。

  1. 最小公倍数就不用解释了,跳过(记住,这里讨论的都是两两互质的情况)
  2. 观察求每个数对应的基础数时候的步骤,比如第一个。105÷3=35。显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除,就是其他数的最小公倍数。相当于找到了最小的开始值,用它去除以3发现正好余2。那么这个基础数就是35。记住35的特征,可以整除其他数但是不能被3整除,并且余数是2。体现的还不够明显,再看下5对应的基础数。21是其他数的最小公倍数,但是不能被5整除,用21除以5得到的余数是1,而要求的数除以5应该是余1的。所以余数被扩大,就得到了相应的基础数63。记住这个数的特征,可以被其他数整除但是被5除应该余三。同理,我们得到了第三个基础数23,那么他的特征就是:可以被其他数整除,但是不能被7整除,并且余数为2。
  3. 第三步基础数加和,为什么要这样做呢?利用就是上面提到的定理1。  35+63+30=128。对于3来说,可以把63+30的和看作一个整体,应该他们都可以被3整除。看着上面写出的三个数的特征,运用定理1来说,就是在35 的基础上加上一个可以被3整除的倍数,那么得到的结果依然还是满足原先的性质的,就是128除以同样还是余2的。同理,对于5还说,这个数被除之后会剩余3;对于7来说,被除之后剩余2。所以说,我们当前得到的这个数是满足题目要求的一个数。但是这个数是不是最小的,那就不一定了。

    4.应该不能确定是不是最小的数,这个时候就要用到他们的最小公倍数了。 最小公倍数顾名思义,一定是一个同时被几个数整除的最小的一个数,所以对它 取余剩余下来的余数还是符合题意要求的。当然具体要不要剪还是要看和lcm的大小关系的。

稍微的总结一下:就是已知m1,m2,m3是两两互质的正整数,求最小的正整数x,使它被m1,m2,m3除所得的余数分别是c1,c2,c3。孙子定理的思想便是线分别求出被其中数mi整除余1而被两外两个数整除的数Mi(i=1,2,3),则所求数之一的便是c1M1+c2M2+c3M3。由此我们可以得到n个两两互质数的情况。证明上面已经一步一步给出。

那么,到此为止基本的中国剩余定理的内容我们以及了解了,包括解答方法。


那么,如果除数之间不互质呢?

可以直接通过枚举在这个数的最小公倍数范围内的所有数,找到最小的正整数解,然后后面的所有解都可以通过这个得到。

以后有发现再补充。


转载自(http://www.cnblogs.com/freinds/p/6388992.html)有删改

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