常用小方法整理3

错排公式

n各有序的元素应有n！种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。

核心递推公式：

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

欧拉回路的判定

一.无向图
一个无向图存在欧拉路径，当且仅当 该图所有顶点的度数为偶数 或者 除了两个度数为奇数外其余的全是偶数。（这里的入度与出度都是+1）
二.有向图
一个有向图存在欧拉路径，当且仅当 该图所有顶点的度数为零 或者 一个顶点的度数为1，另一个度数为-1，其他顶点的度数为0。（这里的入度+1,出度-1）
三.混合图欧拉路径
首先，用上文所说的方法判断该图是否存在欧拉回路，如果存在，欧拉路径一定存在。如果欧拉回路不存在，那么我们枚举欧拉路径的起点和终点，连接一条无向边，然后再用最大流判断是否存在欧拉回路即可。

第二类Stirling数

定理：第二类Stirling数S(p,k)计数的是把p元素集合划分到k个不可区分的盒子里且没有空盒子的划分个数。
证明：元素在拿些盒子并不重要，唯一重要的是各个盒子里装的是什么，而不管哪个盒子装了什么。
递推公式有：S(p,p)=1 (p>=0) S(p,0)=0 (p>=1) S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1) (1<=k<=p-1) 。考虑将前p个正整数，1，2，.....p的集合作为要被划分的集合，把
{1,2,.....p}分到k个非空且不可区分的盒子的划分有两种情况：
(1)那些使得p自己单独在一个盒子的划分，存在有S(p-1,k-1)种划分个数
(2)那些使得p不单独自己在一个盒子的划分，存在有 k*S(p-1,k)种划分个数
考虑第二种情况，p不单独自己在一个盒子，也就是p和其他元素在一个集合里面，也就是说在没有放p之前，有p-1个元素已经分到了k个非空且不可区分的盒子里面（划
分个数为S(p-1,k），那么现在问题是把p放在哪个盒子里面呢，有k种选择，所以存在有k*S(p-1,k)。

long long s[maxn][maxn];//存放要求的Stirling数const long long mod=1e9+7;//取模void init()//预处理{    memset(s,0,sizeof(s));    s[1][1]=1;    for(int i=2;i<=maxn-1;i++)        for(int j=1;j<=i;j++)    {        s[i][j]=s[i-1][j-1]+j*s[i-1][j];        if(s[i][j]>=mod)            s[i][j]%=mod;    }}

扩展：k! *S(p,k) 计数的是把p元素集合划分到k个可区分的盒子里且没有空盒子的划分个数。

Bell数

定理：Bell数B(p)是将p元素集合分到非空且不可区分盒子的划分个数（没有说分到几个盒子里面）。
B(p)=S(p,0)+S(p,1)+.....+S(p,k)
所以要求Bell数就要先求出第二类Stiring数。

第一类Stirling数

定理：第一类Stirling数s(p,k)计数的是把p个对象排成k个非空循环排列的方法数。
证明：把上述定理叙述中的循环排列叫做圆圈。递推公式为：
s(p,p)=1 (p>=0) 有p个人和p个圆圈，每个圆圈就只有一个人
s(p,0)=0 (p>=1) 如果至少有1个人，那么任何的安排都至少包含一个圆圈
s(p,k)=(p-1)*s(p-1,k)+s(p-1,k-1)
设人被标上1,2,.....p。将这p个人排成k个圆圈有两种情况。第一种排法是在一个圆圈里只有标号为p的人自己，排法有s(p-1,k-1)个。第二种排法中，p至少和另一个人在一
个圆圈里。这些排法可以通过把1,2....p-1排成k个圆圈再把p放在1,2....p-1任何一人的左边得到，因此第二种类型的排法共有(p-1)*s(p-1,k)种排法。
在证明中我们所做的就是把{1,2,...,p}划分到k个非空且不可区分的盒子，然后将每个盒子中的元素排成一个循环排列。

long long s[maxn][maxn];//存放要求的第一类Stirling数const long long mod=1e9+7;//取模void init()//预处理{    memset(s,0,sizeof(s));    s[1][1]=1;    for(int i=2;i<=maxn-1;i++)        for(int j=1;j<=i;j++)    {        s[i][j]=s[i-1][j-1]+(i-1)*s[i-1][j];        if(s[i][j]>=mod)            s[i][j]%=mod;    }}