逻辑代数,按位运算（UESTC 491，Tricks in Bits）

看了很多题解和代码，感觉证明都不太对，所以自己尝试证明一下。

解法：

N大于6直接输出0，否则枚举。运算符只用&，枚举每个数是否取~，时间复杂度O（2^N），N最多才6，所以可以当成O（1）了。

为什么大于6直接输出0呢?这个证明都没什么问题，就是说，a&b，a&~b，中至少有一个能使a中1的个数减少一半，a最多有64个1，所以最多&6次，a就可以变成0。

其实到这里就可以结束了，因为N才6，数据也很水，就算你枚举所有运算符，时间也远远足够。（主要是数据水）

但是还是很好奇为什么只需要用&运算符，再枚举~就能找出最优解。

关于|运算：

很容易知道a|b>=a&b。

关于^运算：

https://zhidao.baidu.com/question/205778451.html

想深入研究好像要系统学一下逻辑代数。不过应该没时间系统学吧。。。

a^b=(a&~b)|(~a&b)>=a&~b。

如果有两个数a,b那么最优的运算符一定是&。

但是本题不是两个数，而是一串数，那么一直用&还是最优的选择吗?

事实上，在得到最优解的过程中，中间值不是一直减少的，它有可能会先变大，再变小，很容易找到一些例子证明这个事实。比如3 5 7。

所以我们不再有一直用&的理由了，毕竟中间过程可以增大，那么也许|和^也会成为突破口。

那么有没有可能|^能表示成&~的组合呢?

事实上，这是可以的，比如摩根定律a|b=~(~a&~b)，以及前面那个连接里面的式子a^b=~(~a&~b)&~(a&b)。

但是很可惜，本题是不允许加括号，以及在括号前面用~运算的。如果加上题目的限制条件的话，似乎没有什么办法可以表示了。

（查了下资料，&运算看成乘法，|运算看成加法，就可以用运算律化简，但是依然没办法解决问题。）

换句话说，只用&运算枚举出来的结果不包含所有解。

但是既然能AC，那就说明这些解中一定有最优解。

|^运算也许也能得到最优解，但是一定可以用&~运算代替。

下面尝试证明一下。

①|运算可以用&~运算代替。

我们都知道|运算是只增不减的，&运算是只减不增的，^运算是可增可减的。

比谁更能减少的话&肯定最好。

我们之所以用|是希望短暂的增加后能有更大的减少。

显然用&不能带来更大的减少，因为如果这样不如当初直接一直&下来。

我们只能把希望寄托在^身上。

即a|b^c能有更好的表现。

但是自己研究下就会发现，~(a|b)&c=~a&~b&c能有更好的表现。（不太好表述，就是分析每一位，发现~a&~b&c一定更小）

所以|能被&~替代。

②^运算可以用&~运算代替。

同理，依然把希望寄托在^身上。

即a^b^c能有更好的表现。

也是研究下就会发现，a&b&c能有更好的表现（也不太好表述，也是自己分析每一位运算的性质和差异，发现a&b&c一定更好）

虽然证明很不严谨，但是至少让我能想明白，感觉应该没有想错。

在比赛中，有时候就算你不能证明，想不明白，甚至想错了都没关系，只要能AC就行。

如果有道题目很多人过了但是你却不会做，那么很可能就是贪心暴力乱搞之类的东西。

代码

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef unsigned long long ll;const ll maxn = 110;const ll inf = ~0;ll N;ll a[maxn];ll solve(){    scanf("%llu",&N);    for(ll i=1;i<=N;i++) scanf("%llu",a+i);    if(N>6) return 0*puts("0");    ll sb = inf;    for(ll i=0;i<(1<<N);i++)    {        ll ans = inf;        for(ll j=0;j<N;j++)            if(i&(1<<j)) ans&=~a[j+1];            else ans&=a[j+1];        sb=min(sb,ans);    }    return 0*printf("%llu\n",sb);}int main(){    ll T;    scanf("%llu",&T);    for(ll t=1;t<=T;t++)    {        printf("Case #%llu: ",t);        solve();    }    return 0;}