POJ 2891 Strange Way to Express Integers（同余方程）

本题除了前面我发的用非互质中国剩余定理来解决，还可以使用同余方程的知识来解决，具体思路如下：

求这个东西
X mod m1=r1
X mod m2=r2
…
…
…
X mod mn=rn

首先，我们看两个式子的情况
X mod m1=r1……………………………………………………………(1)
X mod m2=r2……………………………………………………………(2)
则有
X=m1*k1+r1………………………………………………………………(*)
X=m2*k2+r2

那么 m1*k1+r1=m2*k2+r2
整理，得 m1*k1-m2*k2=r2-r1
令(a,b,x,y,m)=(m1,m2,k1,k2,r2-r1)，原式变成 ax+by=m

此时，因为GCD(a,b)=1不一定成立，GCD(a,b) | m 也就不一定成立。
所以应该先判断，若 GCD(a,b) | m 不成立，则方程无解。
若成立，则继续往下。

解出(x,y)，将k1=x反代回（*），得到X。
于是X就是这两个方程的一个特解，通解就是 X’=X+k*LCM(m1,m2)
这个式子再变形，得 X’ mod LCM(m1,m2)=X
这个方程一出来，说明我们实现了(1)(2)两个方程的合并。
令 M=LCM(m1,m2)，R=r2-r1
就可将合并后的方程记为 X mod M = R。

然后，扩展到n个方程。
用合并后的方程再来和其他的方程按这样的方式进行合并，最后就能只剩下一个方程 X mod M=R，其中 M=LCM(m1,m2,…,mn)。
那么，X便是原模线性方程组的一个特解，通解为 X’=X+k*M。

如果，要得到X的最小正整数解，就还是原来那个方法：

X%=M;
if (X<0) X+=M;
这样就解决啦

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <string>#include <vector>#include <stack>#include <set>#include <map>using namespace std;__int64 m[100010], r[100010];int n;__int64 EX_Gcd(__int64 a, __int64 b, __int64 &x, __int64 &y){    if (b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return a;    }    else    {        __int64 ans = EX_Gcd(b, a%b, x, y);        __int64 tmp = x;        x = y;        y = tmp - a / b*y;        return ans;    }}__int64 solve(){    __int64 M = m[1], R = r[1];    for (int i = 2;i <= n;i++)    {        __int64 x, y;        __int64 d = EX_Gcd(M, m[i], x, y);        if ((r[i] - R) % d) return -1;        else        {            x = (r[i] - R) / d*x % (m[i] / d);            R += x*M;            M = M / d*m[i];            R %= M;        }    }    return R > 0 ? R : R + M;}int main(){    while (cin >> n)    {        for (int i = 1;i <= n;i++)        {            cin >> m[i] >> r[i];        }        cout << solve() << endl;    }    return 0;}