算法导论复习（4） floyd算法

           Floyd算法是解决所有结点对的最短路径问题。算法运行时间为θ(V^3)。

算法分析：
Floyd算法考虑的是一条最短路径的中间节点，即简单路径p={v1,v2,…,vn}上除v1和vn的任意节点。
设k是p的一个中间节点，那么从i到j的最短路径p就被分成i到k和k到j的两段最短路径p1，p2。p1是从i到k且中间节点属于{1，2，…，k-1}取得的一条最短路径。p2是从k到j且中间节点属于{1，2，…，k-1}取得的一条最短路径。
由此可以写递归式：
当k=0时，就是i和j之间没有节点，最短路径就是i到j的权值
当k>=1时，下面图中路径选最短

递归式：

代码实现
a.伪代码

FLOYD-WARSHALL(W)n=W.rowsD=Wfor k=1 to n for i=1 to n for j=1 to n d(ij)=min(d(ij)+d(ji)) return D

b.（学校上机题）
All-pairs shortest paths. The adjacency matrix is as same as that of problem 3.
A->B -1 A->C 3
B->C 3 B->D 2 B->E 2
D->B 1 D->C 5
E->D -3

package 算法导论上机;public class Allpairs {    public static void FLOYD(int [][] w,int n){        int [][] p=new int[n][n];        int [][] m=new int[n][n];        for(int i=0;i<n;i++){            for(int j=0;j<n;j++){                if(w[i][j]<Integer.MAX_VALUE){                          m[i][j]=j;                }else{                    m[i][j]=-1;                }                p[i][j]=w[i][j];            }        }        for(int a=0;a<n;a++){            for(int i=0;i<n;i++){                for(int j=0;j<n;j++){                    if(p[i][j]>p[i][a]+p[a][j]){                        p[i][j]=p[i][a]+p[a][j];                        m[i][j]=m[i][a];                    }                }            }        }        for(int i=0;i<n;i++)        {            for(int j=0;j<n;j++)            {                System.out.print(m[i][j]+" ");            }            System.out.println();        }        for(int i=0;i<n;i++){            for(int j=0;j<n;j++){                System.out.println(i+"到"+j+"的最短路径：");                if(m[i][j]==-1){                    System.out.println("no");                }else{                    System.out.println(m[i][j]);                }            }        }    }    public static void main(String [] args){        int [][] w={{Integer.MAX_VALUE,-1,3,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE},                        {Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,3,2,2},                        {Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE},                        {Integer.MAX_VALUE,1,5,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE},                        {Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,-3,Integer.MAX_VALUE}                        };        Allpairs.FLOYD(w, 5);    }}