Median of Two Sorted Array leetcode java

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)). 

 

 题解：

首先我们先明确什么是median，即中位数。 

引用Wikipedia对中位数的定义：

计算有限个数的数据的中位数的方法是：把所有的同类数据按照大小的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数。

因此，在计算中位数Median时候，需要根据奇偶分类讨论。

解决此题的方法可以依照：寻找一个unioned sorted array中的第k大（从1开始数）的数。因而等价于寻找并判断两个sorted array中第k/2（从1开始数）大的数。

特殊化到求median，那么对于奇数来说，就是求第(m+n)/2+1（从1开始数）大的数。

而对于偶数来说，就是求第(m+n)/2大（从1开始数）和第(m+n)/2+1大（从1开始数）的数的算术平均值。

那么如何判断两个有序数组A,B中第k大的数呢？

我们需要判断A[k/2-1]和B[k/2-1]的大小。

如果A[k/2-1]==B[k/2-1]，那么这个数就是两个数组中第k大的数。

如果A[k/2-1]<B[k/2-1], 那么说明A[0]到A[k/2-1]都不可能是第k大的数，所以需要舍弃这一半，继续从A[k/2]到A[A.length-1]继续找。当然，因为这里舍弃了A[0]到A[k/2-1]这k/2个数，那么第k大也就变成了，第k-k/2个大的数了。

如果 A[k/2-1]>B[k/2-1]，就做之前对称的操作就好。

 这样整个问题就迎刃而解了。

 

当然，边界条件页不能少，需要判断是否有一个数组长度为0，以及k==1时候的情况。

 

因为除法是向下取整，并且页为了方便起见，对每个数组的分半操作采取：

int partA = Math.min(k/2,m);
int partB = k - partA; 

 为了能保证上面的分半操作正确，需要保证A数组的长度小于B数组的长度。

 

同时，在返回结果时候，注意精度问题，返回double型的就好。 

 

代码如下：

 1 public static double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) {
 2     int m = A.length;
 3     int n = B.length;
 4     int total = m+n;
 5     if (total%2 != 0)
 6         return (double) findKth(A, 0, m-1, B, 0, n-1, total/2+1);//k传得是第k个，index实则k-1
 7     else {
 8         double x = findKth(A, 0, m-1, B, 0, n-1, total/2);//k传得是第k个，index实则k-1
 9         double y = findKth(A, 0, m-1, B, 0, n-1, total/2+1);//k传得是第k个，index实则k-1
10         return (double)(x+y)/2;
11     }
12 }
13  
14 public static int findKth(int[] A, int astart, int aend, int[] B, int bstart, int bend, int k) {
15     int m = aend - astart + 1;
16     int n = bend - bstart + 1;
17     
18     if(m>n)
19         return findKth(B,bstart,bend,A,astart,aend,k);
20     if(m==0)
21         return B[k-1];
22     if(k==1)
23         return Math.min(A[astart],B[bstart]);
24     
25     int partA = Math.min(k/2,m);
26     int partB = k - partA;
27     if(A[astart+partA-1] < B[bstart+partB-1])
28         return findKth(A,astart+partA,aend,B,bstart,bend,k-partA);
29     else if(A[astart+partA-1] > B[bstart+partB-1])
30         return findKth(A,astart,aend,B,bstart+partB,bend,k-partB);
31     else
32         return A[astart+partA-1];
33     }

这道题比较直接的想法就是用Merge Sorted Array这个题的方法把两个有序数组合并，当合并到第(m+n)/2个元素的时候返回那个数即可，而且不用把结果数组存起来。算法时间复杂度是O(m+n)，空间复杂度是O(1)。因为代码比较简单，就不写出来了，跟Merge Sorted Array比较类似，大家可以参照这个题目的解法。

接下来我们考虑有没有优化的算法。优化的思想来源于order statistics，在算法导论10.3节中提到。问题等价于求两个array的第k=(m+n)/2（假设m和n分别是两个数组的元素个数）大的数是多少。基本思路是每次通过查看两个数组的第k/2大的数(假设是A[k/2],B[k/2])，如果两个A[k/2]=B[k/2]，说明当前这个数即为两个数组剩余元素的第k大的数，如果A[k/2]>B[k/2], 那么说明B的前k/2个元素都不是我们要的第k大的数，反之则排除A的前k/2个，如此每次可以排除k/2个元素，最终k=1时即为结果。总的时间复杂度为O(logk),空间复杂度也是O(logk)，即为递归栈大小。在这个题目中因为k=(m+n)/2,所以复杂度是O(log(m+n))。比起第一种解法有明显的提高，代码如下： 

public double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) {
    if((A.length+B.length)%2==1)
        return helper(A,B,0,A.length-1,0,B.length-1,(A.length+B.length)/2+1);
    else
        return (helper(A,B,0,A.length-1,0,B.length-1,(A.length+B.length)/2)
               +helper(A,B,0,A.length-1,0,B.length-1,(A.length+B.length)/2+1))/2.0;
}
private int helper(int A[], int B[], int i, int i2, int j, int j2, int k)
{
    int m = i2-i+1;
    int n = j2-j+1;
    if(m>n)
        return helper(B,A,j,j2,i,i2,k);
    if(m==0)
        return B[j+k-1];
    if(k==1)
        return Math.min(A[i],B[j]);
    int posA = Math.min(k/2,m);
    int posB = k-posA;
    if(A[i+posA-1]==B[j+posB-1])
        return A[i+posA-1];
    else if(A[i+posA-1]<B[j+posB-1])
        return helper(A,B,i+posA,i2,j,j+posB-1,k-posA);
    else
        return helper(A,B,i,i+posA-1,j+posB,j2,k-posB);
}

实现中还是有些细节要注意的，比如有时候剩下的数不足k/2个，那么就得剩下的，而另一个数组则需要多取一些数。但是由于这种情况发生的时候，不是把一个数组全部读完，就是可以切除k/2个数，所以不会影响算法的复杂度。 
这道题的优化算法主要是由order statistics派生而来，原型应该是求topK的算法，这个问题是非常经典的问题，一般有两种解法，一种是用quick select(快速排序的subroutine),另一种是用heap。 复杂度是差不多的，有兴趣可以搜一下，网上资料很多，topK问题在海量数据处理中也是一个非常经典的问题，所以还是要重视。

归并计数法 Merge and Count

复杂度

时间O(n) 空间O(1)

思路

如果对时间复杂度没有要求，这个方法是实现起来最简单的，我们只需要从下往上依次数(n+m)/2个元素即可。由于两个数组都已经排序，我们可以使用两个指针指向数组“底部”，通过比较两个数组“底部”的元素大小来决定计哪一个元素，同时将其所在数组的指针“向上”移一位。为了方便处理总元素为偶数的情况，这里将找中位数变成找第k小的元素。

注意

• 计数的循环是用来找到第k-1个元素的，最后return的时候再判断第k个元素是哪一个
• 在每次计数的循环中要先判断两个数组指针是否超界，在最后return之前也要判断一次

代码

Javapublic class Solution {    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {        int len1 = nums1.length;        int len2 = nums2.length;        int total = len1 + len2;        if(total % 2==0){            return (findKth(nums1,nums2,total/2)+findKth(nums1,nums2,total/2+1))/2.0;        } else {            return findKth(nums1,nums2,total/2+1);        }    }    private int findKth(int[] nums1, int[] nums2, int k){        int p = 0, q = 0;        for(int i = 0; i < k - 1; i++){            if(p>=nums1.length && q<nums2.length){                q++;            } else if(q>=nums2.length && p<nums1.length){                p++;            } else if(nums1[p]>nums2[q]){                q++;            } else {                p++;            }        }        if(p>=nums1.length) {            return nums2[q];        } else if(q>=nums2.length) {            return nums1[p];        } else {            return Math.min(nums1[p],nums2[q]);        }    }}

分治法 Divide and Conquer

复杂度

时间O(log(m+n)) 空间O(1)

思路

题目要求O(log(m+n))的时间复杂度，一般来说都是分治法或者二分搜索。首先我们先分析下题目，假设两个有序序列共有n个元素（根据中位数的定义我们要分两种情况考虑），当n为奇数时，搜寻第(n/2+1)个元素，当n为偶数时，搜寻第(n/2+1)和第(n/2)个元素，然后取他们的均值。进一步的，我们可以把这题抽象为“搜索两个有序序列的第k个元素”。如果我们解决了这个k元素问题，那中位数不过是k的取值不同罢了。

那如何搜索两个有序序列中第k个元素呢，这里又有个技巧。假设序列都是从小到大排列，对于第一个序列中前p个元素和第二个序列中前q个元素，我们想要的最终结果是：p+q等于k-1,且一序列第p个元素和二序列第q个元素都小于总序列第k个元素。因为总序列中，必然有k-1个元素小于等于第k个元素。这样第p+1个元素或者第q+1个元素就是我们要找的第k个元素。

所以，我们可以通过二分法将问题规模缩小，假设p=k/2-1，则q=k-p-1，且p+q=k-1。如果第一个序列第p个元素小于第二个序列第q个元素，我们不确定二序列第q个元素是大了还是小了，但一序列的前p个元素肯定都小于目标，所以我们将第一个序列前p个元素全部抛弃，形成一个较短的新序列。然后，用新序列替代原先的第一个序列，再找其中的第k-p个元素（因为我们已经排除了p个元素，k需要更新为k-p），依次递归。同理，如果第一个序列第p个元素大于第二个序列第q个元素，我们则抛弃第二个序列的前q个元素。递归的终止条件有如下几种：

• 较短序列所有元素都被抛弃，则返回较长序列的第k个元素（在数组中下标是k-1）
• 一序列第p个元素等于二序列第q个元素，此时总序列第p+q=k-1个元素的后一个元素，也就是总序列的第k个元素

注意

• 每次递归不仅要更新数组起始位置（起始位置之前的元素被抛弃），也要更新k的大小（扣除被抛弃的元素）

代码

javapublic class Solution {    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {        int m = nums1.length, n = nums2.length;        int k = (m + n) / 2;        if((m+n)%2==0){            return (findKth(nums1,nums2,0,0,m,n,k)+findKth(nums1,nums2,0,0,m,n,k+1))/2;        }   else {            return findKth(nums1,nums2,0,0,m,n,k+1);        }    }    private double findKth(int[] arr1, int[] arr2, int start1, int start2, int len1, int len2, int k){        if(len1>len2){            return findKth(arr2,arr1,start2,start1,len2,len1,k);        }        if(len1==0){            return arr2[start2 + k - 1];        }        if(k==1){            return Math.min(arr1[start1],arr2[start2]);        }        int p1 = Math.min(k/2,len1) ;        int p2 = k - p1;        if(arr1[start1 + p1-1]<arr2[start2 + p2-1]){            return findKth(arr1,arr2,start1 + p1,start2,len1-p1,len2,k-p1);        } else if(arr1[start1 + p1-1]>arr2[start2 + p2-1]){            return findKth(arr1,arr2,start1,start2 + p2,len1,len2-p2,k-p2);        } else {            return arr1[start1 + p1-1];        }    }}