背包问题

来源：互联网发布：淘宝介入买家都能赢吗编辑：程序博客网时间：2024/06/07 14:30

背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和无限背包，这里主要讨论01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。

先说一下算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

（1），v[i][0]=v[0][j]=0;

（2），v[i][j]=v[i-1][j] 当w[i]>j

（3），v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i-1][j-w[i]]+v[i]} 当j>=w[i]

好的，我们的算法就是基于此三个结论式。

一、01背包：

1、二维数组法

[java] view plain copy
 
public class sf {  
  
    public static void main(String[] args) {  
        // TODO Auto-generated method stub  
        int[] weight = {3,5,2,6,4}; //物品重量  
        int[] val = {4,4,3,5,3}; //物品价值  
        int m = 12; //背包容量  
        int n = val.length; //物品个数  
          
        int[][] f = new int[n+1][m+1]; //f[i][j]表示前i个物品能装入容量为j的背包中的最大价值  
        int[][] path = new int[n+1][m+1];  
        //初始化第一列和第一行  
        for(int i=0;i<f.length;i++){  
            f[i][0] = 0;  
        }  
        for(int i=0;i<f[0].length;i++){  
            f[0][i] = 0;  
        }  
        //通过公式迭代计算  
        for(int i=1;i<f.length;i++){  
            for(int j=1;j<f[0].length;j++){  
                if(weight[i-1]>j)  
                    f[i][j] = f[i-1][j];  
                else{  
                    if(f[i-1][j]<f[i-1][j-weight[i-1]]+val[i-1]){  
                        f[i][j] = f[i-1][j-weight[i-1]]+val[i-1];  
                        path[i][j] = 1;  
                    }else{  
                        f[i][j] = f[i-1][j];  
                    }  
                    //f[i][j] = Math.max(f[i-1][j], f[i-1][j-weight[i-1]]+val[i-1]);  
                }  
            }  
        }  
        for(int i=0;i<f.length;i++){  
            for(int j=0;j<f[0].length;j++){  
                System.out.print(f[i][j]+" ");  
            }  
            System.out.println();  
        }  
          
        int i=f.length-1;  
        int j=f[0].length-1;  
        while(i>0&&j>0){  
            if(path[i][j] == 1){  
                System.out.print("第"+i+"个物品装入 ");  
                j -= weight[i-1];  
            }  
            i--;  
        }  
          
    }  
  
}  

输出：

[java] view plain copy
 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   
0 0 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4   
0 0 0 4 4 4 4 4 8 8 8 8 8   
0 0 3 4 4 7 7 7 8 8 11 11 11   
0 0 3 4 4 7 7 7 8 9 11 12 12   
0 0 3 4 4 7 7 7 8 10 11 12 12   
第4个物品装入 第3个物品装入 第1个物品装入   

以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：

for i=1..N

for v=V..0

f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

2、一维数组法（无须装满）

[java] view plain copy
 
public class sf {  
  
    public static void main(String[] args) {  
        // TODO Auto-generated method stub  
        int[] weight = {3,5,2,6,4}; //物品重量  
        int[] val = {4,4,3,5,3}; //物品价值  
        int m = 12; //背包容量  
        int n = val.length; //物品个数  
          
        int[] f = new int[m+1];  
        for(int i=0;i<f.length;i++){     //不必装满则初始化为0  
            f[i] = 0;  
        }  
        for(int i=0;i<n;i++){  
            for(int j=f.length-1;j>=weight[i];j--){  
                f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]]+val[i]);  
            }  
        }  
        for(int i=0;i<f.length;i++){  
            System.out.print(f[i]+" ");  
        }  
        System.out.println();  
        System.out.println("最大价值为"+f[f.length-1]);  
    }  
}  

输出

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0 0 3 4 4 7 7 7 8 9 11   
最大价值为11  

3、一维数组法（必须装满）

[java] view plain copy
 
public class sf {  
  
    public static void main(String[] args) {  
        // TODO Auto-generated method stub  
        int[] weight = {3,5,2,6,4}; //物品重量  
        int[] val = {4,4,3,5,3}; //物品价值  
        int m = 12; //背包容量  
        int n = val.length; //物品个数  
          
        int[] f = new int[m+1];  
        for(int i=1;i<f.length;i++){     //必装满则f[0]=0,f[1...m]都初始化为无穷小  
            f[i] = Integer.MIN_VALUE;  
        }  
        for(int i=0;i<n;i++){  
            for(int j=f.length-1;j>=weight[i];j--){  
                f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]]+val[i]);  
            }  
        }  
        for(int i=0;i<f.length;i++){  
            System.out.print(f[i]+" ");  
        }  
        System.out.println();  
        System.out.println("最大价值为"+f[f.length-1]);  
    }  
  
}  

输出

[java] view plain copy
 
0 -2147483648 3 4 3 7 6 7 8 10 11 12 11   
最大价值为11  

二、完全背包

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

但我们有更优的O(VN)的算法。

O(VN)的算法

这个算法使用一维数组，先看伪代码：

for i=1..N

for v=0..V

f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

你会发现，这个伪代码与P01的伪代码只有v的循环次序不同而已。

[java] view plain copy
 
public class test{  
      public static void main(String[] args){  
           int[] weight = {3,4,6,2,5};  
           int[] val = {6,8,7,5,9};  
           int maxw = 10;  
           int[] f = new int[maxw+1];  
           for(int i=0;i<f.length;i++){  
               f[i] = 0;  
           }  
           for(int i=0;i<val.length;i++){  
               for(int j=weight[i];j<f.length;j++){  
                   f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]]+val[i]);  
               }  
           }  
           System.out.println(f[maxw]);  
      }  
    }  

输出

0 0