SCUT129 笔芯值 —— DP or 容斥原理

来源：互联网发布：金融投资网络销售好吗编辑：程序博客网时间：2024/04/28 01:28

题目链接：https://scut.online/p/129

题解：

因为ai<=100000, 且ai只出现一次，所以可以用pos[]数组保存ai的下标，这样就不用向前遍历查找了，做到一步访问。如果ai很大但仍只出现一次，亦可以用map存其下标。

设dp[i]为：以a[i]为结尾的所有子序列的bx值之和。

DP；

1假设已经求出了dp[i-1]，那么在a[1]~a[i-1]的基础上，再加上a[i]。先假设a[i]的存在并不能对bx值作出贡献，即以a[i]为结尾的所有子序列的bx值之和dp[i] = dp[i-1] 。

2.经过分析，可知：以a[i]为子序列的结尾，往前溯。当没有出现a[i]-1或者a[i]+1时，a[i]对当前的序列都贡献了1，所以每往前一步，dp[i]都能增加1。当出现a[i]+1 or a[i]-1其中的一个时，每往前溯一步， a[i]的作用无效或者拆散了一对又合成了一对，所以在这一区间，dp[i]无变化。当a[i]+1 and a[i]-1都出现时，每往前溯一步， a[i]都拆散了一对，所以dp[i]要减去1。

最后答案就是dp[i]之和。

代码如下：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <string>#include <vector>#include <map>#include <set>#include <queue>#include <stack>#include <sstream>#include <algorithm>using namespace std;#define pb push_back#define mp make_pair#define ms(a, b)  memset((a), (b), sizeof(a))#define eps 0.0000001typedef long long LL;const int INF = 2e9;const LL LNF = 9e18;const int mod = 1e9+7;const int maxn = 100000+10;LL a[maxn], pos[maxn], dp[maxn];int n;void init(){    scanf("%d",&n);    for(int i = 1; i<=n; i++)        scanf("%lld",&a[i]);    ms(pos,0);    ms(dp,0);}void solve(){    int p;    pos[a[1]] = 1;    for(int i = 2; i<=n; i++)    {        dp[i] = dp[i-1];  //先假设a[i]的存在对bx值没有贡献。        p = max(pos[a[i]-1], pos[a[i]+1]);  //找到a[i]+1 or a[i]-1 的下标， 都不存在时， p为0。        dp[i] += i-p-1;  //对于以a[i]为结尾的，且不存在a[i]+1 or a[i]-1的子序列，a[i]的存在能增加一对，这样的序列有i-p-1对。        //由于只出现一个时， 对dp[i]没有影响， 所以跳过        //如果a[i]+1 and a[i]-1 都存在        if(pos[a[i]-1] && pos[a[i]+1])        {            p = min(pos[a[i]-1], pos[a[i]+1]);  //找到下标最小的哪一个            dp[i] -= p;  //对于以a[i]为结尾的，且a[i]+1 and a[i]-1都存在的子序列，a[i]的存在拆散了一对，这样的序列有p对。        }        pos[a[i]] = i;  //记录a[i]出现的位置    }    LL ans = 0;    for(int i = 1; i<=n; i++)        ans += dp[i];    printf("%lld\n",ans);}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--){        init();        solve();    }}

容斥：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <string>#include <vector>#include <map>#include <set>#include <queue>#include <stack>#include <sstream>#include <algorithm>using namespace std;#define pb push_back#define mp make_pair#define ms(a, b)  memset((a), (b), sizeof(a))#define eps 0.0000001typedef long long LL;const int INF = 2e9;const LL LNF = 9e18;const int mod = 1e9+7;const int maxn = 100000+10;LL a[maxn], pos[maxn], dp[maxn];int n;void init(){    scanf("%d",&n);    for(int i = 1; i<=n; i++)        scanf("%lld",&a[i]), pos[a[i]] = i;}void solve(){    LL ans = 0;    for(int len = 2; len<=n; len++)        ans += 1LL*(len-1)*(n-len+1);    for(int i = 1; i<n; i++)    {        int pre = pos[i];        int next = pos[i+1];        if(pre>next) swap(pre, next);        ans -= 1LL*pre*(n-next+1);    }    printf("%lld\n",ans);}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--){        init();        solve();    }}

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