[bzoj1042][DP][容斥原理]硬币购物

Description

硬币购物一共有4种硬币。面值分别为c1,c2,c3,c4。某人去商店买东西，去了tot次。每次带di枚ci硬币，买si的价值的东西。请问每次有多少种付款方法。

Input

第一行 c1,c2,c3,c4,tot 下面tot行 d1,d2,d3,d4,s

Output

每次的方法数

Sample Input

1 2 5 10 2
3 2 3 1 10
1000 2 2 2 900

Sample Output

4
27

HINT

数据规模 di,s<=100000 tot<=1000

题解

简明了来说就是不可以重复使用的01背包问题。用dp预处理完之后再用容斥原理减值或者加值。
设dp[i]为“不限制硬币”下的最多方法数，那么状态转移方程就是dp[j]=dp[j]+dp[j-c[i]]。
解决完这些后，我们来看容斥原理
设第1枚硬币超过最大值，也就是大于携带的数量。那么就要将总方案数减去第一枚硬币超过最大值的方案，以此类推。那么按照容斥定理，单数的我们就要减去，双数我们就要加上。这样就能得出正确答案啦~
PS：第一次写博客，不好之处敬请谅解啊~喵~

代码1:暴力for循环与if版本

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;LL f[110000];LL c[110000],d[110000];/*    f[i]表示了！不限制！硬币数目的最多付款方法     那么只需将f[tot]的和减去d1超过的限制数-d2超过-d3-d4-(d1与d2)……-(d1+d2+d3+d4)就行了    硬币d1超过限制时，需要减去的就是 */int main(){    freopen("coins.in","r",stdin);    freopen("coins.out","w",stdout);    LL T,tot;    for(int i=1;i<=4;i++)scanf("%lld",&c[i]);    scanf("%lld",&T);    memset(f,0,sizeof(f));f[0]=1;    //打表，把1 ~ 100000的全部情况都列出来     for(int i=1;i<=4;i++)for(int j=c[i];j<=100000;j++)f[j]+=f[j-c[i]];    while(T--)    {        for(int i=1;i<=4;i++){scanf("%d",&d[i]);d[i]++;}        scanf("%lld",&tot);        LL ans=f[tot];        for(int i=1;i<=4;i++)if(tot>=d[i]*c[i])ans-=f[tot-d[i]*c[i]];        for(int i=1;i<=3;i++)for(int j=i+1;j<=4;j++)if(tot>=d[i]*c[i]+d[j]*c[j])ans+=f[tot-d[i]*c[i]-d[j]*c[j]];        for(int i=1;i<=2;i++)for(int j=i+1;j<=3;j++)for(int k=j+1;k<=4;k++)if(tot>=d[i]*c[i]+d[j]*c[j]+d[k]*c[k])ans-=f[tot-d[i]*c[i]-d[j]*c[j]-d[k]*c[k]];        if(tot>=d[1]*c[1]+d[2]*c[2]+d[3]*c[3]+d[4]*c[4])ans+=f[tot-d[1]*c[1]-d[2]*c[2]-d[3]*c[3]-d[4]*c[4]];        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}

代码2:DFS求和版本

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;LL f[110000];LL c[110000],d[110000];LL ans=0;/*    f[i]表示了！不限制！硬币数目的最多付款方法     那么只需将f[tot]的和减去d1超过的限制数-d2超过-d3-d4-(d1与d2)……-(d1+d2+d3+d4)就行了    硬币d1超过限制时，需要减去的就是 */void dfs(LL x,LL k,LL sum){    if(sum<0)return ;//需要求的值小于0时，直接return    if(x==5)//4种硬币全部求完啦    {        if(k%2==1)ans-=f[sum];//单数减        else ans+=f[sum];//双数加        return ;    }    dfs(x+1,k+1,sum-d[x]*c[x]);//我们让第x种超限    dfs(x+1,k,sum);//再让x种不超限，两种都尝试}int main(){    freopen("coins.in","r",stdin);    freopen("coins.out","w",stdout);    LL T,tot;    for(int i=1;i<=4;i++)scanf("%lld",&c[i]);    scanf("%lld",&T);    memset(f,0,sizeof(f));f[0]=1;    //打表，把1 ~ 100000的全部情况都列出来     for(int i=1;i<=4;i++)for(int j=c[i];j<=100000;j++)f[j]+=f[j-c[i]];    while(T--)    {        for(int i=1;i<=4;i++){scanf("%d",&d[i]);d[i]++;}        scanf("%lld",&tot);        ans=0;dfs(1,0,tot);        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}