《组合数学》第二章-排列与组合

1. n 元素集合的循环 r 排列的输出为 Arnr 。
   证明：如果不考虑循环是 Arn 种，每种重复出现了 r 次，除去就行。
2. 帕斯卡公式：Ckn=Ckn−1+Ck−1n−1
   证明：该式的数学证明很容易，实际含义就是在 n 个元素的集合中选 k 个，等于先确定一个选不选，再从剩下的 n−1 个中选 k 个或 k−1 个。
3. 多重集合排列：设 S 是多重集合，它有 k 中不同类型的对象，每种对象的数目是 ni 个。S 集合的大小为 n=∑ki=1ni 。则 S 集合的排列数目等于
   n!∏ki=1ni!
   
   证明：从所有位置中选出 ni 个位置分配给第 i 种对象：
   Cn1nCn2n−n1Cn3n−n1−n2...Cnkn−n1−n2−...−nk=n!∏ki=1ni!
4. 多重集合的组合： S 是有 k 个对象的多重集合，每种元素均有无限的重复数，那么其 r 组合的个数是
   Crr+k−1
   
   证明假设有 r 个 1 ，k−1 个 0 ，这 r+k−1 个数字的每一种排列都是 0 将 1 划分成 k 个部分。这 k 个部分相当于 r 组合中每一种元素的个数。这是一个多重集合排列问题，由(3) 可知答案为 (r+k−1)!r!(k−1)! 。