常用排序算法之堆排序

来源：互联网发布：股票预测 python 编辑：程序博客网时间：2024/05/16 18:28

堆排序

基本思想：

要进行堆排序，首先要建立N个元素的二叉堆，建立好二叉堆后，我们执行N次DeleteMin操作。按照顺序，最小的元素最先离开该堆，通过将这些元素记录到第二个数组然后再将数组拷贝回来，即可得到N个元素的排序。

涉及到堆，就一定要保持堆的性质：（结构性质、堆序性质）

结构性质：堆是一颗被完全填满的二叉树，有可能的例外是在底层，底层上的元素从左到右填入。这样的树称为完全二叉树（除最后一层外，每一层的节点数都达到最大值，在最后一层上只缺少右边的若干节点）。

堆序性质：在一个堆中，父节点中的关键字大于等于子节点中的关键字。

这里，我们需要使用一个附加数组，最后将第二个数组中的元素拷贝回第一个数组完成排序。这使得空间需求增加了一倍，而且拷贝也花费了O（n）的时间。我们可以利用以下事实来避免使用第二个数组。每次DeleteMin后堆缩小了一，我们可以用堆中最后的单元来存储刚刚被删去的元素。这样最后数组中就是按照从大到小顺序排列的元素。如果我们想让元素按照从小到大的顺序排列可以每次进行DeleteMax操作。

实例：现有七个数：53、97、26、41、58、31、59。对这七个数进行堆排序，因此首先要开始建立堆，建立堆的过程就是不断的将最大元上滤，将空穴下滤的过程。最终使得数组满足堆的性质。堆序性质虽然使得序列在一定程度上有了顺序，但是由于堆序性质没有规定左右子树的大小顺序，所以我们进行堆排序还是有必要的。

建立好堆后，我们开始进行排序，每次删除最大的元素后，堆的大小减小了一个单位，我们将最大元素放在堆中被减去的那个单元中，最后再将堆序性质进行恢复。

程序实现：

#include<iostream>using namespace std;typedef int ElementType;#define LeftChild( i )  ( 2 * ( i ) + 1 )//因为i从0开始，所以左孩子的2*i+1void print(int a[], int n ,int i){      cout<<"i="<<i <<":";      for(int j= 0; j<n; j++)    {          cout<<a[j] <<" ";      }      cout<<endl;  }  void Swap( ElementType *Lhs, ElementType *Rhs ){    ElementType Tmp = *Lhs;    *Lhs = *Rhs;    *Rhs = Tmp;}void PercDown( ElementType A[ ], int i, int N ){    int Child;    ElementType Tmp;    for( Tmp = A[ i ]; LeftChild( i ) < N; i = Child )//    {        Child = LeftChild( i );        if( Child != N - 1 && A[ Child + 1 ] > A[ Child ] )            Child++;        if( Tmp < A[ Child ] )            A[ i ] = A[ Child ];//当将        else            break;    }    A[ i ] =Tmp;}void Heapsort( ElementType A[ ], int N ){    int i;    cout<<"建立堆："<<endl;//n 个结点的完全二叉树，则最后一个拥有子树的节点是n/2(向下取整)。因此我们从i=n/2开始到i=0结束对序列进行建堆操作，也可以从i=0到i=n或者从i=n到i=0。只是增加了不必要的比较操作。     for( i = N / 2; i >= 0; i-- )  /* BuildHeap */    {        PercDown( A, i, N );        print(A, N ,i);    }    cout<<"堆排序："<<endl;    for( i = N - 1; i > 0; i-- )//数组从0开始，最后一个元素的下标是N-1    {        Swap( &A[ 0 ], &A[ i ] );  /* DeleteMax */        PercDown( A, 0, i );        print(A, N ,i);    }}int main(){    int a[7]={53,97,26,41,58,31,59};        Heapsort(a,7);    system("pause");    return 0;}

程序实现分析：
根据堆序性质，根上的元素的值是最大的（即A[0]是最大的），我们每次将A[0]与最后的元素交换，交换后将堆的大小减一（相当于将最大的元素删除了），然后再将少了一个元素的堆恢复堆序性质。

PercDown程序主要对序列进行操作，使得序列满足堆的性质。每次找出子节点中最大的节点与父节点进行交换。
初始是不满足堆序性质的二叉树，我们不断的下滤，使得序列满足堆序性质，完成堆的建立。
先将 A[0]存在Tmp中，相当于将根变成空穴，
1: i=3,LeftChild=7=N;结束
2: i=2,LeftChild=5;A[6]>A[5]；A[6]>A[2],将A[6]与A[2]交换（右儿子大，[Child = LeftChild( i )，Child++].与右儿子交换）
i=LeftChild+1=6;LeftChild=13>N;结束
3: i=1,LeftChild=3;A[4]>A[3];A[4]（右儿子大）
   i=LeftChild+1=4;LeftChild=9>N;结束
4: i=0,LeftChild=1;A[1]>A[2];A[1]>A[0],将A[1]与A[0]交换(与左二子交换)
i=LeftChild=1;LeftChild=3<N;A[4]>A[3];A[4]>A[1],将A[4]与A[1]交换(与右儿子交换)
i=LeftChild+1=4;LeftChild=9>N;结束
  （为什么不考虑根的另一个分支？因为每次上滤过程最大元素只改变了根的一个分支，另一个分支没有改变任然保持了堆序性质，所以不用考虑。）
[
  堆的建立过程可以概括为以下几步：
  a,将根结点与左、右子树中较大元素的进行交换。
b,若与左子树交换：如果左子树堆被破坏，即左子树的根结点不满足堆的性质，则重复方法a。
c,若与右子树交换，如果右子树堆被破坏，即右子树的根结点不满足堆的性质。则重复方法a。
    d,继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。

]

堆排序过程示例：

初始状态：

建堆过程：

1、

2、

3、

4、

5、

建立好了二叉堆后，下来就可以开始进行堆排序了。堆排序过程，删除最大元素很容易，麻烦的是将删除了最大元素的堆恢复堆序性质。

堆中元素数N=6

1：i=N-1=6;(注意这里的i与PercDown中的i不同)将A[0]与A[6]交换，此时，堆中仅有6个元素，N=6;现在我们再将这六个元素恢复堆序性质。

PercDown( A, 0, 6 ):

i=0,LeftChild=1;A[2]>A[1];A[2]>A[0],将A[2]与A[0]交换(与右儿子交换)

i=LeftChild+1=2;LeftChild=5<N;Child=LeftChild=5=N-1;A[5]>A[2],将A[5]与A[2]交换（与左儿子交换）<a[2],不交换< span="" style="box-sizing: border-box; margin-bottom: 0px;">

i=LeftChild=5;LeftChild=11<N;结束