应力分析(2)

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应力分析（2）1

应力分量的坐标变换

新坐标系中的3个正面分别看作是旧坐标系中的斜面，应用斜面公式（Cauchy公式），可以导出新旧坐标系中应力分量的变换关系。

[σ'] = [β] [σ] [β] T (1.20)

式中[β]为新坐标系三个基矢量在旧坐标系三个轴上的投影组成的矩阵。

[β]=⎡⎣⎢l1l2l3m1m2m3n1n2n3⎤⎦⎥，[σ]=⎡⎣⎢σxτyxτzxτxyσyτzyτxzτyzσz⎤⎦⎥

张量表示为

σ m' n' = β m' i β n' j σ i j (1.22)

式中

βn′j=e′n′⋅ej是

e′n′在

ej上的投影。

主应力、应力张量不变量

根据斜面公式，给定一点的应力状态，即σ已知，各斜面上的应力矢量T(n)随斜面外法线方向n而改变。根据材料力学知识，在所有的斜面中存在这样的一个面，该面上只有正应力作用，而剪应力为零，即该面上的应力矢量T(n)只有沿法线方向的分量。下面求这个斜面的单位法线矢量n以及该面上的正应力σ。

正应力与该面上的应力矢量的关系可表示为

T (n) = σ n

写成分量形式为

T x = σ l, T y = σ m, T z = σ n

代入应力分析（1）的公式（1.6）

T x = σ x l + τ y x m + τ z x n T y = τ x y + σ y m + τ z y n T z = τ x z + τ y z m + σ z n (1.6)

整理可得

(σ x - σ) l + τ y x m + τ z x n = 0 τ x y l + (σ y - σ) m + τ z y n = 0 τ x z l + τ y z m + (σ z - σ) n = 0 (1.23)

式（1.23）是关于

l、m、n的齐次方程，由于

l2+m2+n2=1，因此，

l、m、n不可能同时为零，即方程（1.23）应有非零解。非零解的条件是其系数矩阵行列式为零。

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ σ x - σ τ y x τ z x τ x y σ y - σ τ z y τ x z τ y z σ z - σ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0

展开可得一个一元三次方程组，该方程数学上称为特征方程

σ 3 - I 1 σ 2 + I 2 σ - I 3 = 0 (1.24)

式中

I1、I2、I3分别为

I 1 = σ x + σ y + σ z = σ k k I 2 = σ x σ y + σ x σ z + σ y σ z - (τ 2 x y + τ 2 y z + τ 2 z x) = ∣ ∣ ∣ σ x τ y x τ x y σ y ∣ ∣ ∣ + ∣ ∣ ∣ σ y τ z y τ y z σ z ∣ ∣ ∣ + ∣ ∣ ∣ σ z τ x z τ z x σ x ∣ ∣ ∣ I 3 = σ x σ y σ z - (σ x τ 2 y z + σ y τ 2 z x + σ z τ 2 x y) + 2 τ x y τ y z τ z x = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ σ x τ y z τ z x τ x y σ y τ z y τ x z τ y z σ z ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (1.25)

使用张量表示为

I 1 = σ k k I 2 = 1 2 (I 21 - σ i j σ i j) I 3 = 1 3 (3 I 1 I 2 - I 31) + σ i j σ j k σ k i (1.26)

主应力有3个重要性质：

1）极值性

最大（最小）主应力是该点任意面上正应力的最大（最小）者。

2）主方向互相垂直

3）I1、I2、I3的坐标不变性

I1、I2、I3的大小与坐标系的选取无关，因此是坐标不变量。

在以3个主轴为坐标轴的坐标系下，应力张量可表示为

[σ i j] = ⎡ ⎣ ⎢ σ 1 00 0 σ 2 0 00 σ 3 ⎤ ⎦ ⎥

三个不变量用主应力表示为

I 1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 I 3 = σ 1 σ 2 σ 3 (1.28)

最大剪应力

设3个主应力及主应力方向已知，求最大剪应力。以3个主方向为其坐标轴方向，其单位矢量是e1、e2、e3，如图所示。推导思路：斜面公式–>求极值–>拉格朗日乘子。

该斜面上的应力矢量是

T (n) = T (e 1) l + T (e 2) m + T (e 3) n = l σ 1 e 1 + m σ 2 e 2 + n σ 3 e 3 (1.29)

该斜面上的正应力是

σ n = T (n) \cdot n = l 2 σ 1 + m 2 σ 2 + n 2 σ 3 (1.30)

斜面上的剪应力为

τ 2 n = ∥ T ∥ 2 - σ 2 n (1.32)

结果：设σ1≥σ2≥σ3，则最大剪应力是

τ m a x = σ 1 - σ 3 2 (1.33)

所在的平面与中应力

σ2平行而与最大主应力

σ3和最小主应力

σ3的角度分别为

45∘。

这里写图片描述

Mohr应力圆

根据式（1.30）和式（1.32），任一斜面上的正应力σn和剪应力τn随斜面外法线方向余弦l、m、n而变化，将每一个斜面上的σn和τn使用σ−τ坐标系上的坐标点表示，所有这些坐标点所组成的图形称之为Mohr图。

设σ1≥σ2≥σ3，可推导出应力圆

τ 2 n + (σ n - σ 2 + σ 3 2) 2 \geq (σ 2 - σ 3 2) 2 τ 2 n + (σ n - σ 3 + σ 1 2) 2 \leq (σ 3 - σ 1 2) 2 τ 2 n + (σ n - σ 1 + σ 2 2) 2 \geq (σ 1 - σ 2 2) 2

由这三个不等式可知：任意一斜面的应力

σn、τn在

σ−τ坐标系中，均落在

σ1、σ2、σ3决定的3个圆上或者圆之间的阴影面积内。如下图所示，这三个圆称之为Mohr应力圆，简称为Mohr圆或应力圆。
这里写图片描述

偏应力张量及其不变量

一点的应力状态可以分解为：静水压力状态和偏应力状态之和。静水压力状态是指微六面体的每个面上只有正应力作用，而剪应力为零，正应力大小均为平均应力

σ 0 = 1 3 (σ 1 + σ 2 + σ 3) (1.40)

即

[σ 0 δ i j] = ⎡ ⎣ ⎢ σ 0 00 0 σ 0 0 00 σ 0 ⎤ ⎦ ⎥

式中

δij是Kronecker符号。

σ0δij称为球形张量。
这里写图片描述

偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分，表示为

[s i j] = ⎡ ⎣ ⎢ σ x - σ 0 τ y x τ z x τ x y σ y - σ 0 τ z y τ x z τ y z σ z - σ 0 ⎤ ⎦ ⎥ (1.41)

偏应力

sij也是一个对称的二阶张量。

上述的应力分解用张量表示为

σ i j = s i j + σ 0 δ i j

静水压力状态的特点

任意斜面上的剪应力为零；Mohr应力圆退化为σ轴上的一点；这是一种各个面上应力都相同的状态。

偏应力的主值和不变量

偏应力张量sij所代表的应力状态有什么的特点？将式（1.24）和试（1.25）中的σij用sij替代，则求得偏应力主值的特征方程为

s 3 - J 1 s 2 - J 2 s - J 3 = 0 (1.42)

式中

J 1 = σ x - σ 0 + σ y - σ 0 + σ z - σ 0 = s k k = 0 J 2 = - ∣ ∣ ∣ σ x - σ 0 τ y z τ x y σ y - σ 0 ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ σ y - σ 0 τ x y τ y z σ z - σ 0 ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ σ z - σ 0 τ x z τ z x σ x - σ 0 ∣ ∣ ∣ = 1 6 [(σ x - σ y) 2 + (σ y - σ z) 2 + (σ z - σ x) 2 - 6 (τ 2 x y + τ 2 y z - τ 2 z x)] = 1 2 s i j s i j J 3 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ σ x - σ 0 τ y x τ z x τ x y σ y - σ 0 τ z y τ x z τ y z σ z - σ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 3 s i j s j k s k i (1.43)

解方程（1.42）可得偏应力的三个主值

s 1 = 2 J 2 - - \sqrt 3 \sqrt sin (θ σ + 2 π 3 \sqrt) s 2 = 2 J 2 - - \sqrt 3 \sqrt sin (θ σ) s 3 = 2 J 2 - - \sqrt 3 sin (θ σ - 2 π 3) (1.44)

式中

θσ称为Lode角，为

θ σ = 1 3 s i n - 1 [- 27 - - \sqrt J 3 2 ( J 2 ) 3 / 2] (1.45)

由应力状态分解的关系（1.41）可以得出主应力可表示为

σ 1 = 2 J 2 - - \sqrt 3 \sqrt sin (θ σ + 2 π 3 \sqrt) + σ 0 σ 2 = 2 J 2 - - \sqrt 3 \sqrt sin (θ σ) + σ 0 σ 3 = 2 J 2 - - \sqrt 3 sin (θ σ - 2 π 3) + σ 0

陈明祥. 弹塑性力学[M]. 北京: 科学出版社, 2007. ↩

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