数论常用内容——欧拉函数

今天博主来稍微介绍一点欧拉函数的知识

欧拉函数

在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（记作φ(n)，其中φ(1)=1）

注意，欧拉函数是一种积性函数，它并不是完全积性的，它只满足：对于正整数n的一个算术函数 f(n)，且f(1)=1，并当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b)

欧拉函数的计算公式

其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

欧拉函数的性质

(1) p^k型欧拉函数:

若N是质数p(即N=p), φ(n)= φ(p)=p-p^(k-1)=p-1。若N是质数p的k次幂(即N=p^k)，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。

(2)mn型欧拉函数

设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。

(3)特殊性质:

若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。对于任何两个互质的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)≡1 mod n （欧拉定理）当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)≡1 mod n （费马小定理）

代码实现

1、直接求解欧拉函数，此种方法因为时间复杂度较高，在竞赛中一般不使用，但是作为对于欧拉函数的理解，我觉得有必要在这里放出

int phi(int n){ //返回φ(n)        int res=n,a=n;       for(int i=2;i*i<=a;i++){           if(a%i==0){               res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出                while(a%i==0) a/=i;           }       }       if(a>1) res=res/a*(a-1);       return res;  }  

2、筛法求欧拉函数，此种方法直接预处理了MAXN以内的数所对应的欧拉函数，因为欧拉函数一般与筛素数会同时出现，所以这里放出的代码会将两个筛一起实现

const int MAXN = 10000000;bool check[MAXN+10];int phi[MAXN+10];int prime[MAXN+10];int tot;void phi_and_prime_table(int N){    memset(check,false,sizeof(check));    phi[1] = 1;    tot = 0;    for(int i = 2; i <= N; i++){        if( !check[i] ){            prime[tot++] = i;            phi[i] = i-1;        }        for(int j = 0; j < tot; j++){            if(i * prime[j] > N)break;            check[i * prime[j]] = true;            if( i % prime[j] == 0){                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];                break;            }            else{                phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);            }        }    }}

欧拉函数的应用

求一个数的所有质因子之和：

一个数的所有质因子之和是φ(n)*n/2。

欧拉函数与最大公因数关系的应用：

求GCD(1,n)+GCD(2,n)+……+GCD(n-1,n)1.建立递推关系，s(n)=s(n-1)+gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n);2.设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+……+gcd(n-1,n)。    其中，gcd(x,n)=i是n的约数（x<n），按照这个约数进行分类。设满足gcd（x,n）=i的有g(n,i)个，则有f(n)=sum(i*g(n,i))。    而gcd(x,n)=i等价于gcd(x/i,n/i)=1，因此g(n,i)等价于φ(n/i)3.降低时间复杂度。用筛法预处理phi[x]表，再用筛法预处理f(x)->枚举因数，更新其所有倍数求解。

下面贴出代码

typedef long long ll;const int MAXN = 4000010;bool check[MAXN+10];int phi[MAXN+10];int prime[MAXN+10];int tot;void phi_and_prime_table(int N){    memset(check,false,sizeof(check));    phi[1] = 1;    tot = 0;    for(int i = 2; i <= N; i++){        if( !check[i] ){            prime[tot++] = i;            phi[i] = i-1;        }        for(int j = 0; j < tot; j++){            if(i * prime[j] > N)break;            check[i * prime[j]] = true;            if( i % prime[j] == 0){                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];                break;            }            else{                phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);            }        }    }}ll f[MAXN],s[MAXN];int main(){    phi_and_prime_table(MAXN);    memset(f,0,sizeof(f));    for(int i=1; i<=MAXN; i++)        for(int j=i+i; j<=MAXN; j+=i)            f[j]+=i*phi[j/i];    memset(s,0,sizeof(s));    s[1]=0;    for(int i=2; i<=MAXN; i++)        s[i]=s[i-1]+f[i];    int n;    while(~scanf("%d",&n)&&n){        printf("%lld\n",s[n]);    }    return 0;}