数论常用内容——整除

说到整除，我们应该先来明确一下整除的定义：

若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零， 我们就说a能被b整除（或说b能整除a），即b∣a,读作“b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。

然后我们来看一下整除的基本性质：

①若a|b，a|c，则a|(b±c)。②若a|b，则对任意c(c≠0)，a|bc。③对任意非零整数a，±a|a=±1。④若a|b，b|a，则|a|=|b|。⑤如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。⑥如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反过来也成立

我们在竞赛中经常会碰到能被xx数整除的问题，如果现场总结规律可能会非常慢，这里我给大家总结了一部分能被xx数整除的数的特征：

1.能被2整除的数：个位上为2的倍数
2.能被4整除的数：个位和十位所组成的两位数能被4整除
3.能被8整除的数：百位、个位、十位所组成的三位数能被8整除（注意顺序）
4.能被5整除的数：个位上为5的倍数
5.能被25整除的数：十位和个位所组成的两位数能被25整除
6.能被125整除的数：百位、十位、个位所组成的数能被125整除
7.能被3整除的数：各个数位上的数字和能被3整除
8.能被9整除的数：各个数位上的数字和能被9整除
9.能被11整除的数：奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和的差的绝对值能被11整除
10.能被7整除的数：把个位数字截去，从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，如果不好判断就递归处理
11.能被13整除的数：把个位数字截去，从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除
12.能被17整除的数：把个位数字截去，从余下的数中，加上个位数的5倍，如果和是17的倍数，则原数能被17整除，或把后三位截去，剩下的数与3倍后三位差的绝对值如果能被17整除，则原数能被17整除
13.能被19整除的数：把个位数字截去，从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除，或把后三位截去，剩下的数与7倍后三位的差的绝对值如果能被19整除，则原数能被19整除